Unter einem Basiswechsel versteht man eine spezielle Sichtweise der Bildung eines Faserproduktes in relativen Situationen, insbesondere in der algebraischen Geometrie. In diesem Zusammenhang wird das Faserprodukt oft auch als pull-back bezeichnet.
Spricht man von Basiswechsel, ist damit die folgende Situation gemeint: Man betrachtet einen Morphismus
![{\displaystyle f\colon X\to Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07b9ff205beb51e7899846aeae788ae5e5546a3e)
als Familie mit Basis Y. Ist nun ein Morphismus
![{\displaystyle g\colon Y'\to Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a3fc93b9ca84fdb6c0d6184119e271d108e5237)
gegeben, so ist „der durch Basiswechsel entlang g“ entstehende Morphismus die kanonische Projektion des Faserproduktes
![{\displaystyle f'\colon X':=X\times _{Y}Y'\to Y'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe7c48102649e4d9901c7a80125f2560b0934b33)
Die Basis Y wurde also durch die Basis Y′ ausgewechselt. Man sagt dann auch kurz: „f′ ist der Basiswechsel von f unter g.“
Die Symmetrie des Faserproduktes wird vollkommen ignoriert.
Hat g zusätzliche Eigenschaften wie z. B. Flachheit, so spricht man auch von "flachem Basiswechsel" usw.
„Stabil unter Basiswechsel“
Ist P eine Eigenschaft von Morphismen einer Kategorie, in der Faserprodukte existieren, so heißt P stabil unter Basiswechsel, wenn die Gültigkeit von P für einen Morphismus f: X → Y die Gültigkeit von P für den durch einen Basiswechsel Y′ → Y entstandenen Morphismus
![{\displaystyle f_{Y'}\colon X\times _{Y}Y'\longrightarrow Y'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e3216de66a880229b6e8c9b5a13198eefe76596)
impliziert.
Beispiele
- Monomorphismen
- Surjektivität in den Kategorien der Mengen oder topologischen Räume, und in jeder Kategorie die Eigenschaft, eine Retraktion zu sein
- Faserungen in Modellkategorien, insbesondere Serre-Faserungen
- Die Eigenschaft stetiger Abbildungen topologischer Räume, abgeschlossen zu sein, d. h. abgeschlossene Teilmengen auf abgeschlossene Teilmengen abzubilden, ist nicht stabil unter Basiswechsel: Es sei
die Abbildung der reellen Geraden auf einen Punkt; sie ist abgeschlossen. Durch den Basiswechsel
erhält man
, die kanonische Projektion. Sie ist nicht abgeschlossen, beispielsweise wird die abgeschlossene Teilmenge
auf die nicht abgeschlossene Menge
abgebildet. Pullback-stabil abgeschlossen sind dagegen die abgeschlossenen Abbildungen mit kompakten Fasern.
- Viele der Eigenschaften von Morphismen von Schemata, die in der algebraischen Geometrie betrachtet werden, sind stabil unter Basiswechsel. Ist dies für eine Eigenschaft P nicht der Fall, so nennt man die Eigenschaft eines Morphismus, dass jeder Basiswechsel P erfüllt, "universell P": beispielsweise ist ein Morphismus f dann universell abgeschlossen, wenn jeder Basiswechsel von f abgeschlossen ist.