Das eulersche Polygonzugverfahren oder explizite Euler-Verfahren (auch Euler-Cauchy-Verfahren oder Euler-vorwärts-Verfahren) ist das einfachste Verfahren zur numerischen Lösung eines Anfangswertproblems.
für eine gewöhnliche Differentialgleichung wähle man eine Diskretisierungs-Schrittweite
, betrachte die diskreten Zeitpunkte
und berechne die Werte
Die berechneten Werte stellen Approximationen an die tatsächlichen Werte der exakten Lösung des Anfangswert-Problems dar. Je kleiner die Schrittweite gewählt ist, desto mehr Rechenarbeit ist nötig, aber desto genauer werden auch die approximierten Werte.
Eine Modifikation des Verfahrens besteht hier darin, dass man die Schrittweite variabel wählt. Eine sinnvolle Veränderung der Schrittweite setzt einen Algorithmus zur Schrittweitensteuerung voraus, der den Fehler im aktuellen Schritt abschätzt und dann die Schrittweite für den nächsten Schritt dementsprechend wählt.
Nun besteht die Idee, beim expliziten Euler-Verfahren eine simple Quadraturformel für das Integral zu benutzen: die linksseitige Boxregel. Man wählt in jedem -ten Schritt den Integranden als konstanten Wert an der linken Intervallgrenze[2]
Es lässt sich im Wesentlichen durch zwei verschiedene Ideen auf effizientere Verfahren verallgemeinern.
Die erste Idee ist, bei der Berechnung des nächsten Schrittes mehr als nur einen der zuvor berechneten Werte mit einzubeziehen. Auf diese Weise erhält man Verfahren höherer Ordnung in der Klasse der linearen Mehrschrittverfahren.
Die zweite Idee ist, bei der Berechnung des nächsten Schrittes die Funktion auf dem Intervall an mehreren Stellen auszuwerten. Auf diese Weise erhält man die Klasse der Runge-Kutta-Verfahren.
Die Klasse der allgemeinen linearen Verfahren bezieht beide Ideen der
Verallgemeinerung mit ein und enthält die Klasse der linearen Mehrschrittverfahren sowie die Klasse der Runge-Kutta-Verfahren als
Spezialfall.