Die Koordinatenebene im zweidimensionalen Raum Als Koordinatenebene bezeichnet man in der analytischen Geometrie eine von zwei Einheitsvektoren aufgespannte Ursprungsebene . In zwei Dimensionen entspricht die Koordinatenebene der euklidischen Ebene und damit der Grundfläche eines kartesischen Koordinatensystems . Im dreidimensionalen Raum gibt es drei Koordinatenebenen: die xy-Ebene , die xz-Ebene und die yz-Ebene .
Die drei Koordinatenebenen im dreidimensionalen Raum Im Folgenden seien die drei Koordinatenachsen des dreidimensionalen Raums
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3))
mit
x
1
{\displaystyle x_{1))
,
x
2
{\displaystyle x_{2))
und
x
3
{\displaystyle x_{3))
bezeichnet. Die drei Koordinatenebenen werden häufig mit den Buchstaben
E
{\displaystyle E}
gekennzeichnet, der mit zwei Indizes versehen wird, die die beiden Einheitsvektoren angeben, von denen die Ebene aufgespannt wird:
die
x
1
x
2
{\displaystyle x_{1}x_{2))
-Ebene
E
12
{\displaystyle E_{12))
wird von den Vektoren
e
→
1
{\displaystyle {\vec {e))_{1))
und
e
→
2
{\displaystyle {\vec {e))_{2))
aufgespannt
die
x
1
x
3
{\displaystyle x_{1}x_{3))
-Ebene
E
13
{\displaystyle E_{13))
wird von den Vektoren
e
→
1
{\displaystyle {\vec {e))_{1))
und
e
→
3
{\displaystyle {\vec {e))_{3))
aufgespannt
die
x
2
x
3
{\displaystyle x_{2}x_{3))
-Ebene
E
23
{\displaystyle E_{23))
wird von den Vektoren
e
→
2
{\displaystyle {\vec {e))_{2))
und
e
→
3
{\displaystyle {\vec {e))_{3))
aufgespannt Hierbei sind die drei Einheitsvektoren
e
→
1
=
(
1
,
0
,
0
)
{\displaystyle {\vec {e))_{1}=(1,0,0)}
,
e
→
2
=
(
0
,
1
,
0
)
{\displaystyle {\vec {e))_{2}=(0,1,0)}
und
e
→
3
=
(
0
,
0
,
1
)
{\displaystyle {\vec {e))_{3}=(0,0,1)}
. Durch die drei Koordinatenebenen wird der dreidimensionale Raum in acht Oktanten zerlegt. Der Schnitt zweier Koordinatenebenen ergibt eine Koordinatenachse, der Schnitt aller drei Koordinatenebenen den Koordinatenursprung .
Die drei Koordinatenebenen werden durch die folgenden Ebenengleichungen charakterisiert:
Koordinatenebene
Koordinatenform
Normalenform
Parameterform
Achsenabschnittsform
E
12
{\displaystyle E_{12))
x
3
=
0
{\displaystyle x_{3}=0}
e
→
3
⋅
x
→
=
0
{\displaystyle {\vec {e))_{3}\cdot {\vec {x))=0}
x
→
=
s
e
→
1
+
t
e
→
2
{\displaystyle {\vec {x))=s\,{\vec {e))_{1}+t\,{\vec {e))_{2))
nicht definiert
E
13
{\displaystyle E_{13))
x
2
=
0
{\displaystyle x_{2}=0}
e
→
2
⋅
x
→
=
0
{\displaystyle {\vec {e))_{2}\cdot {\vec {x))=0}
x
→
=
s
e
→
1
+
t
e
→
3
{\displaystyle {\vec {x))=s\,{\vec {e))_{1}+t\,{\vec {e))_{3))
nicht definiert
E
23
{\displaystyle E_{23))
x
1
=
0
{\displaystyle x_{1}=0}
e
→
1
⋅
x
→
=
0
{\displaystyle {\vec {e))_{1}\cdot {\vec {x))=0}
x
→
=
s
e
→
2
+
t
e
→
3
{\displaystyle {\vec {x))=s\,{\vec {e))_{2}+t\,{\vec {e))_{3))
nicht definiert
Hierbei sind
x
→
=
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
∈
R
3
{\displaystyle {\vec {x))=(x_{1},x_{2},x_{3})\in \mathbb {R} ^{3))
ein Punkt der jeweiligen Ebene,
x
→
⋅
y
→
{\displaystyle {\vec {x))\cdot {\vec {y))}
das Skalarprodukt der Vektoren
x
→
{\displaystyle {\vec {x))}
und
y
→
{\displaystyle {\vec {y))}
sowie
s
{\displaystyle s}
und
t
{\displaystyle t}
reelle Zahlen.
In der darstellenden Geometrie entsprechen die drei Koordinatenebenen häufig der Grundrissebene, der Aufrissebene und der Kreuzrissebene.
In der synthetischen Geometrie wird eine affine oder projektive Ebene , der als Koordinatenbereich eine Menge mit einer bestimmten algebraischen Struktur (ein Ternärkörper , Quasikörper , Alternativkörper , Schiefkörper etc.) zugeordnet werden kann, als Koordinatenebene über diesem verallgemeinerten Körper bezeichnet.
Wolf-Dieter Klix, Karla Nestler: Konstruktive Geometrie . Hanser, 2001, ISBN 3-446-21566-2 .
Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie . 3. Auflage. Springer, 2007, ISBN 3-540-49328-X .