Sei eine gerade Zahl, also . Dann hat der Kreis, der durch genau Punkte mit ganzzahligen Koordinaten geht, die folgende Koordinatengleichung:
Dieser Kreis hat den Mittelpunkt und den Radius .
Wenn man obige Kreisgleichung mit 4 multipliziert, erhält man eine äquivalente Kreisgleichung:
Bei dieser Kreisgleichung wird als Summe zweier Quadrate dargestellt, wobei als Quadrat einer ungeraden Zahl sicherlich ungerade und als Quadrat einer geraden Zahl sicherlich gerade ist. Es gibt genau Möglichkeiten, als Summe zweier Quadrate darzustellen, wegen der Symmetrie ist die Hälfte davon in der Form ungerade–gerade.
Beispiele
Beispiel 1: (siehe auch Grafik rechts)
Sei . Dann erhalten wir die folgenden Möglichkeiten, die Zahl in der Form ungerade–gerade darzustellen:
, also erhalten wir und . Formt man um, so erhält man und formt man , so erhält man . Somit ergeben sich die vier Punkte , die ganzzahlige Koordinaten haben und durch die der Schinzel-Kreis mit geht.
Beispiel 2:
Sei . Dann erhalten wir die folgenden Möglichkeiten, die Zahl in der Form ungerade–gerade darzustellen:
Fall 1: , also erhalten wir und . Formt man um, so erhält man und formt man , so erhält man .
Somit ergeben sich die vier Punkte , die ganzzahlige Koordinaten haben und durch die der Schinzel-Kreis geht.
Fall 2: , also erhalten wir und . Formt man um, so erhält man und formt man , so erhält man .
Somit ergeben sich die weiteren zwei Punkte , die ganzzahlige Koordinaten haben und durch die der Schinzel-Kreis geht.
Insgesamt erhält man somit die gesuchten 6 Punkte mit ganzzahligen Koordinaten, durch die der Schinzel-Kreis mit geht.
Sei eine ungerade Zahl, also . Dann hat der Kreis, der durch genau Punkte mit ganzzahligen Koordinaten geht, die folgende Koordinatengleichung:
Dieser Kreis hat den Mittelpunkt und den Radius .
Wenn man obige Kreisgleichung mit 9 multipliziert, erhält man eine äquivalente Kreisgleichung:
Bei dieser Kreisgleichung wird als Summe zweier Quadrate dargestellt.
Beispiel
Beispiel:
Sei . Dann erhalten wir die folgenden Möglichkeiten, die Zahl darzustellen:
Fall 1: , also erhalten wir und . Formt man um, so erhält man und formt man , so erhält man .
Somit ergeben sich zwei Punkte , die ganzzahlige Koordinaten haben und durch die der Schinzel-Kreis geht.
Fall 2: , also erhalten wir und . Formt man um, so erhält man und formt man , so erhält man .
Somit ergeben sich keine Punkte, die ganzzahlige Koordinaten haben und durch die der Schinzel-Kreis geht.
Fall 3: , also erhalten wir und . Formt man um, so erhält man und formt man , so erhält man .
Somit ergeben sich keine Punkte, die ganzzahlige Koordinaten haben und durch die der Schinzel-Kreis geht.
Fall 4: , also erhalten wir und . Formt man um, so erhält man und formt man , so erhält man .
Somit ergeben sich zwei Punkte , die ganzzahlige Koordinaten haben und durch die der Schinzel-Kreis geht.
Fall 5: , also erhalten wir und . Formt man um, so erhält man und formt man , so erhält man .
Somit ergibt sich nur ein weiterer Punkt , der ganzzahlige Koordinaten hat und durch den der Schinzel-Kreis geht.
Fall 6: , also erhalten wir und . Formt man um, so erhält man und man erhält sicherlich keine ganzzahligen Koordinaten.
Insgesamt erhält man somit die gesuchten 5 Punkte mit ganzzahligen Koordinaten , durch die der Schinzel-Kreis mit geht.
Die Kreise, die Schinzel mit obiger Methode erzeugt hat, sind nicht unbedingt die kleinstmöglichen Kreise, die durch die gegebene Anzahl ganzzahliger Punkte verlaufen.[3] Sie haben aber den Vorteil, dass sie durch eine explizite Formel beschrieben werden können.[2]
Beispiel
Beispiel:
Sei . Dann ist und der Schinzel-Kreis hat die folgende Darstellung:
mit Mittelpunkt und Radius
Es ist
Mit obiger Methode erhält man die folgenden Punkte (mit ganzzahligen Koordinaten), durch die der Schinzel-Kreis mit geht. Sie liegen bezüglich der x-Achse symmetrisch:
Es gibt aber einen kleineren Kreis, der durch 9 Punkte mit ganzzahligen Koordinaten geht und denselben Mittelpunkt hat:[3]
mit Mittelpunkt und Radius
Dieser Kreis geht durch die folgenden 9 Punkte mit ganzzahligen Koordinaten, die ebenfalls bezüglich der x-Achse symmetrisch liegen:
Der tatsächlich kleinste Kreis aber, der durch 9 Punkte mit ganzzahligen Koordinaten geht, ist der folgende:[4]
mit Mittelpunkt und Radius
Dieser Kreis geht durch die folgenden 9 Punkte mit ganzzahligen Koordinaten, die nicht symmetrisch bezüglich der x-Achse sind:
Die folgende Tabelle gibt für die mit obiger Formel berechneten Schinzelkreise an und vergleicht sie mit den tatsächlich kleinsten Kreisen, die durch Punkte mit ganzzahligen Koordinaten gehen:[4]
n
k
Schinzel-Kreis
kleinstmöglicher Kreis
Mittelpunkt
Radius
Mittelpunkt
Radius
4
2
5
2
6
3
7
3
8
4
9
4
10
5
11
5
12
6
Wie man erkennen kann, ist für und der Schinzel-Kreis tatsächlich der kleinstmögliche Kreis. Für und ist der Schinzel-Kreis um ein Vielfaches größer als der kleinstmögliche Kreis mit Punkten mit ganzzahligen Koordinaten.