Costante di Eulero-Mascheroni |
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Simbolo | γ
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Valore | 0,57721566490153286060... (sequenza A001620 dell'OEIS)
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Origine del nome | Eulero e Lorenzo Mascheroni
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Frazione continua | [0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, ...] (sequenza A002852 dell'OEIS)
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Campo | numeri reali (congetturato irrazionale)
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Costanti correlate | Costanti di Stieltjes, Costante di Meissel-Mertens
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La costante di Eulero-Mascheroni è una costante matematica, usata principalmente nella teoria dei numeri e nell'analisi matematica. È definita come limite della differenza tra la serie armonica
troncata e il logaritmo naturale:
![{\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k))-\int _{1}^{n}{\frac {1}{x))dx\right)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k))-\ln n\right)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(H_{n}-\ln n\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49db216ea7f998617e0084614aab9884a5ca1d39)
dove
è l'ennesimo numero armonico. La sua valutazione approssimata è:
0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 35988 05767 23488 48677 26777 66467 09369 47063 29174 67495...[1]
Non è noto se
sia un numero razionale o meno. Tuttavia, se si suppone che
sia razionale, l'analisi in frazioni continue dimostra che il suo denominatore ha più di 10242080 cifre.[2]
Le costanti di Stieltjes sono una generalizzazione di tale costante.
Rappresentazione integrale
La costante può essere definita in più modi attraverso gli integrali:
![{\displaystyle \gamma =\int _{1}^{\infty }\left({1 \over \lfloor x\rfloor }-{1 \over x}\right)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dfbeb7f78ec31260e483c0343ff28b1ea8054b6)
- dove le parentesi
indicano la funzione parte intera (floor)
![{\displaystyle =-\int _{0}^{\infty }e^{-x}\ln x\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e47b2de96f0442dab2c6ac3c9f8101a8a6d929)
![{\displaystyle =-\int _{0}^{1}{\ln \ln \left({\frac {1}{x))\right)}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd782a623d01bca56e2eaa4caa8d708ab9a9a111)
![{\displaystyle =\int _{0}^{\infty }{\left({\frac {1}{e^{x}-1))-{\frac {1}{xe^{x))}\right)}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd8052681d61457cbcf1049d7e3179a5fe19b8bd)
![{\displaystyle =\int _{0}^{1}{\left({\frac {1}{\ln x))+{\frac {1}{1-x))\right)}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/452d9d8bc388bd6a4952465585de1666de8e7726)
![{\displaystyle =\int _{0}^{\infty }((\frac {1}{x))\left({\frac {1}{1+x))-e^{-x}\right)}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98b02b16e4a73502889226a042070950ae90d3cf)
![{\displaystyle =\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{(1-x\,y)\ln(x\,y)))\,dx\,dy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9c0f247496d8285c64a23d6e49a4072686774e3)
Altri integrali collegati con
sono:
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{e^{-x^{2))\ln x}\,dx=-{\frac {1}{4))(\gamma +2\ln 2){\sqrt {\pi ))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bb94e966f8ddc4d4733fe65ca3ed135ce3f4696)
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{e^{-x}(\ln x)^{2))\,dx=\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2)){6))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48dda3d527475d285cb4eb39d1642ae9ffe77ac1)
Collegamento con le funzioni speciali
La Costante di Eulero-Mascheroni è collegata con molte funzioni speciali come la funzione zeta di Riemann, la funzione gamma e la funzione digamma.
![{\displaystyle \gamma =\lim _{s\to 1^{+))\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n^{s))}-{\frac {1}{s^{n))}\right)=\lim _{s\to 1}\left(\zeta (s)-{\frac {1}{s-1))\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3a6acf56ca8eddd7fd6031cd363de13dc989ec8)
![{\displaystyle =-\psi (1)=\lim _{x\to \infty }\left(x-\Gamma \left({\frac {1}{x))\right)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/367101229083794252c167224ade0bf324fb2339)