Nella logica e nella matematica, due proposizioni
e
si dicono logicamente equivalenti se hanno lo stesso valore di verità in ogni modello.[1] L'equivalenza logica di
e
è a volte espressa come
,
,
, o anche
, a seconda della notazione adottata. Tuttavia, questi simboli sono usati anche per l'equivalenza materiale, motivo per cui la corretta interpretazione dipende dal contesto: l'equivalenza logica è diversa dall'equivalenza materiale, sebbene i due concetti siano intrinsecamente correlati.
Nela logica esistono molteplici equivalenze enunciate come leggi o proprietà. Di seguito se ne riportano alcune.
Equivalenza |
Nome
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![{\displaystyle p\wedge \top \equiv p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e8a8a0dece8733fdfd714cb8259a029562c2cea)
![{\displaystyle p\vee \bot \equiv p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c922d14cc5f5cd94f78d2f87c5d9c4b3a9a432d6) |
Leggi di identità
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![{\displaystyle p\vee \top \equiv \top }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/801b00c2607382ebcac263548ca9676b033bb968)
![{\displaystyle p\wedge \bot \equiv \bot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f04aefa3de4f3c0f11c6d224962512a01ca82f0) |
Leggi di dominazione
|
![{\displaystyle p\vee p\equiv p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dd78d23f74b06c59ac8a7085c1bd067e8701082)
![{\displaystyle p\wedge p\equiv p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df775d572ec6184ced6a7ba824763930bee6b083) |
Leggi di idempotenza o tautologia
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![{\displaystyle \neg (\neg p)\equiv p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4c40482a2576ce259b5e706134025d12d539b4d) |
Legge della doppia negazione
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![{\displaystyle p\vee q\equiv q\vee p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2bbd340eaf887bf6f4b1dc5d64415e622c6dd2f)
![{\displaystyle p\wedge q\equiv q\wedge p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cdd876d8a0b8d7860aa90db2aead5a740f641ff) |
Leggi commutative
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![{\displaystyle (p\vee q)\vee r\equiv p\vee (q\vee r)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/426f0685fd87aa6ab91bd241c873f4cbc31a948c)
![{\displaystyle (p\wedge q)\wedge r\equiv p\wedge (q\wedge r)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d986867fefaa942f20ebc5fcde3ca0fb5d2c2c63) |
Leggi associative
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![{\displaystyle p\vee (q\wedge r)\equiv (p\vee q)\wedge (p\vee r)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72e9dd241c53f4f76da73b3099b98d46bf8fb57c)
![{\displaystyle p\wedge (q\vee r)\equiv (p\wedge q)\vee (p\wedge r)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0ac7824583cc5d27df2d2073ef1a6565d0002c3) |
Leggi distributive
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![{\displaystyle \neg (p\wedge q)\equiv \neg p\vee \neg q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce79bfd2a2c61c81b74fb9e4b0e7b80e796e9fea)
![{\displaystyle \neg (p\vee q)\equiv \neg p\wedge \neg q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59b533db434291182eaa57a30f6922ff72bcb8fc) |
Leggi di De Morgan
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![{\displaystyle p\vee (p\wedge q)\equiv p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7321863325180847a3e1c28d2faf739b7477d0a7)
![{\displaystyle p\wedge (p\vee q)\equiv p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60f2e3e5b756268540df325da6f525c22b1efd58) |
Leggi di assorbimento
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![{\displaystyle p\vee \neg p\equiv \top }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7302227300ae1650232aad04efa4666af446e06)
![{\displaystyle p\wedge \neg p\equiv \bot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2a321ddc3b6a768d7924341b66b1647252af51d) |
Leggi di negazione
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![{\displaystyle p\implies q\equiv \neg p\vee q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a152b49f0455b5a3e1c3873231227df8a292a46)
![{\displaystyle p\implies q\equiv \neg q\implies \neg p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af30645ddca34fa05d8a0ed2753df76d7fc96548)
![{\displaystyle p\vee q\equiv \neg p\implies q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/403478d3f153c94096660fee31e17c52033fdd03)
![{\displaystyle p\wedge q\equiv \neg (p\implies \neg q)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2b92fcf9932ca2bd419f3376414dca34902b184)
![{\displaystyle \neg (p\implies q)\equiv p\wedge \neg q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fe81a9f34f26624427e5c80e53da5bf5aa62f85)
![{\displaystyle (p\implies q)\wedge (p\implies r)\equiv p\implies (q\wedge r)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9082acab16ed7ec926fec6bed99d74c8f30a0207)
![{\displaystyle (p\implies q)\vee (p\implies r)\equiv p\implies (q\vee r)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dff53c453d474a974b82fc1a7224a652fb00269e)
![{\displaystyle (p\implies r)\wedge (q\implies r)\equiv (p\vee q)\implies r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efe623db55dc6d4fb9372f2d802e1f228437e118)
![{\displaystyle (p\implies r)\vee (q\implies r)\equiv (p\wedge q)\implies r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78fdffd2761acbda5d639c829ae6fd1ebdd88d11)
![{\displaystyle p\iff q\equiv (p\implies q)\wedge (q\implies p)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18bb4e82797b43905f992a0add0021a50e43ccf7)
![{\displaystyle p\iff q\equiv \neg p\iff \neg q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79e37d465f9e3ff101bf66bb7ae3873f674f454f)
![{\displaystyle p\iff q\equiv (p\wedge q)\vee (\neg p\wedge \neg q)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f8b1abbdcddcd9cfbefacb84630ea6773af1fa9)
![{\displaystyle \neg (p\iff q)\equiv p\iff \neg q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d86e820617b9af1b211125291b8919838a30c64)
Le seguenti affermazioni sono logicamente equivalenti:
- Se Lisa è in Danimarca, allora è in Europa (una dichiarazione del tipo
),
- Se Lisa non è in Europa, allora non è in Danimarca (una dichiarazione del tipo
).
Sintatticamente, la (1) e la (2) sono derivabili l'una dall'altra tramite le regole della contrapposizione e della doppia negazione. Semanticamente, la (1) e la (2) sono vere esattamente negli stessi modelli matematici (interpretazioni, valutazioni); vale a dire, quelli in cui o "Lisa è in Danimarca" è falsa o "Lisa è in Europa" è vera.
Si noti che in questo esempio si presuppone la logica classica. Alcune logiche non classiche non considerano la (1) e la (2) logicamente equivalenti.
L'equivalenza logica è diversa dall'equivalenza materiale. Le formule
e
sono logicamente equivalenti se e solo se l'affermazione della loro equivalenza materiale (
) è una tautologia.[2]
L'equivalenza materiale di
e
(spesso scritta come
) è esso stesso un'altra istruzione nello stesso linguaggio oggetto di
e
.
Questa affermazione esprime l'idea che
e se e solo se
. In particolare, il valore di verità di
può cambiare da un modello all'altro.
D'altra parte, l'affermazione che due formule sono logicamente equivalenti è un'affermazione nel metalinguaggio, che esprime una relazione tra le due affermazioni
e
Le affermazioni sono logicamente equivalenti se hanno lo stesso valore di verità in ogni modello.
- ^ (EN) Elliott Mendelson, Introduction to Mathematical Logic, 2ª ed., 1979, pp. 56, ISBN 9780442253073.
- ^ (EN) Irving Copi, Carl Cohen e Kenneth McMahon, Introduction to Logic, New International, Pearson, 2014, pp. 348.