Nella logica classica, il sillogismo ipotetico è una forma logica valida che possiede una istruzione condizionale in una o in entrambe le sue premesse[1][2]. Esempio:
- Se io non mi sveglio, quindi non posso andare a lavorare.
- Se non posso andare a lavorare, io non vengo pagato.
- Pertanto, se non mi sveglio, allora io non vengo pagato.
Nella logica proposizionale, il sillogismo ipotetico è una valida regola di inferenza (spesso abbreviato HS, e a volte chiamato anche l'argomento della catena, regola della catena, o il principio di transitività della implicazione). Il sillogismo ipotetico è una delle regole in logica classica che non è sempre accettata in certi sistemi di logica non classica. La regola può essere indicata come segue:
![{\displaystyle {\frac {P\to Q,Q\to R}{\therefore P\to R))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2cb2ef5903d54e21d9acee16ddfd3b12e7e7e2f)
dove la regola è che ogni volta che le istanze di "
", e "
" sono nella parte superiore della linea, relativa alla dimostrazione, e
" viene scritto nella parte inferiore.
Il sillogismo ipotetico è strettamente legato e simile al sillogismo disgiuntivo, che dà anch'esso origine a una regola di inferenza.
Il sillogismo ipotetico può essere scritto con la notazione del sequente:
, dove
è un simbolo metalogico indicante che
è conseguenza sintattica di
e di
in qualche sistema formale,
e può anche essere espresso con una tautologia vero-funzionale, che è allo stesso tempo una legge (o teorema) della logica proposizionale:
![{\displaystyle ((P\to Q)\land (Q\to R))\to (P\to R)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec910af719488c5b1dd43e8901b599692f93bcbd)
dove
,
, e
sono proposizioni espresse in un sistema formale scelto a piacere.
Dimostrazione:
Step
|
Proposition
|
Derivation
|
1 |
![{\displaystyle P\to Q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7cad5b2c2991ae1dbded560c5d875fbf49fe8ea) |
Dato
|
2 |
![{\displaystyle Q\to R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ef1ef065627b752e2c72ed7c680877ac826e1e7) |
Dato
|
3 |
![{\displaystyle P}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a) |
Assunzione della prova condizionale
|
4 |
![{\displaystyle Q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8752c7023b4b3286800fe3238271bbca681219ed) |
Modus ponens (1,3)
|
5 |
![{\displaystyle R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33) |
Modus ponens (2,4)
|
6 |
![{\displaystyle P\to R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/607a6516aef27614d1adb2eef2bf7e4fdde40a90) |
Prova condizionale (3-5)
|
La regola del sillogismo ipotetico vale nella logica classica, nella logica intuizionistica, nella maggior parte dei sistemi di logica di rilevanza e in molti altri sistemi di logica. Tuttavia, non vale in tutte le logiche, incluse, ad esempio, la logica non monotona, la logica probabilistica e la logica di default. La ragione di ciò è che queste logiche descrivono ragionamenti risolvibili e i condizionali che appaiono nei contesti del mondo reale in genere consentono eccezioni, ipotesi di default, condizioni ceteris paribus o semplicemente pura incertezza.
Un esempio, derivato da Ernest W. Adams[3]:
- Se Jones vince le elezioni, Smith si ritirerà dopo le elezioni.
- Se Smith muore prima delle elezioni, Jones vincerà le elezioni.
- Se Smith muore prima delle elezioni, Smith si ritirerà dopo le elezioni.
Chiaramente, la (3) non segue dalla (1) e dalla (2). La (1) è vera per impostazione predefinita, ma non regge nelle circostanze eccezionali in cui Smith muore. In pratica, i condizionali del mondo reale tendono sempre a coinvolgere presupposti o contesti predefiniti e potrebbe essere impossibile o addirittura impossibile specificare tutte le circostanze eccezionali in cui potrebbero non essere vere. Per ragioni simili, la regola del sillogismo ipotetico non vale per i condizionali controfattuali.
Una forma alternativa di sillogismo ipotetico, più utile nei sistemi di calcolo proposizionale classico, con l'implicazione e la negazione (senza il simbolo di congiunzione), è la seguente:
- (HS1)
![{\displaystyle (Q\to R)\to ((P\to Q)\to (P\to R))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76d98f3992f809b366d3fa9ebb360f66a8976385)
Un'altra forma ancora è:
- (HS2)
![{\displaystyle (P\to Q)\to ((Q\to R)\to (P\to R))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8338a1128f2b3fa8bdac62daf330b30557d3d063)
- Dimostrazione
Un esempio di dimostrazione di questi teoremi in tali sistemi è fornito di seguito. Si utilizzano due dei tre assiomi del calcolo proposozionale descritti da Jan Łukasiewicz:
- (A1)
![{\displaystyle \phi \to \left(\psi \to \phi \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24333bbf801ca1613550143fc97a2d34c954139f)
- (A2)
![{\displaystyle \left(\phi \to \left(\psi \rightarrow \xi \right)\right)\to \left(\left(\phi \to \psi \right)\to \left(\phi \to \xi \right)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c9dd8563e60109bc5cb573b3b0903827ea05bf0)
La dimostrazione è la seguente:
- (1)
(istanziazione di (A1))
- (2)
(istanziazione di (A2))
- (3)
(dalla (1) e dalla (2) mediante modus ponens)
- (4)
(istanza di (A2))
- (5)
(dalla (3) e dalla (4) mediante modus ponens)
- (6)
(istanza di (A1))
- (7)
(dalla (5) e dalla (6) mediante modus ponens)
In presenza di due teoremi della forma
e
, si può dimostrare che
mediante i seguenti passaggi:
- (1)
(istanziazione del teorema dimostrato in precedenza)
- (2)
(istanziazione di (T1))
- (3)
(dalla (1) e dalla (2) mediante modus ponens)
- (4)
(istanziazione di (T2))
- (5)
(dalla (3) e dalla (4) mediante modus ponens)
- ^ Patrick J. Hurley, A Concise Introduction to Logic, Cengage Learning, 2011.
- ^ Irving Copi e Carl Cohen, Introduzione alla logica, a cura di Gabriele Lolli, traduzione di Rossella Lupacchini, Bologna, Il Mulino, 1999.
- ^ Ernest W. Adams, The Logic of Conditionals, Dordrecht: Reidel, 1975, p. 22.
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