La teoria lineare del moto ondoso (Teoria di Airy) permette una trattazione semplificata della cinematica delle particelle fluide in posizione variata rispetto al livello indisturbato giungendo a relazioni per il calcolo della lunghezza e del periodo dell'onda e la sua elevazione dalla superficie libera.
Si consideri il sistema di riferimento cartesiano posizionato sulla superficie libera, con asse z verticale diretto verso l'alto e asse y normale al piano.
Si definisce la profondità locale del fondale h(x) la distanza tra il fondale e la superficie libera (il "tirante" idrico, costante a meno di variazioni locali qui trascurate) e l'elevazione della superficie libera (η(x,t)) la distanza tra la superficie libera ed il livello indisturbato, concorde con l'asse z.
Si introduce quindi la pressione P(x,z,t) e il campo di velocità istantanea dell'acqua V(x,z,t) avente componenti lungo x e z rispettivamente chiamate u(x,z,t) e w(x,z,t).
- Si fa l'ipotesi che il fluido sia incomprimibile a causa delle modeste sovrapressioni presenti, pertanto si ha che
ovvero
(con il pedice qui si indica la variabile rispetto alla quale si sta operando la derivata parziale della funzione).
, ovvero la variazione della quantità di moto è pari alla somma delle forze di massa e di superficie su un volume di controllo. Esplicitando si ha che:
- * ∑ Fm: Forza di gravità + Forza di Coriolis, qui trascurabile in quanto non consideriamo domini geografici estesi
- * ∑ Fs: Forze normali, di pressione, + Forze tangenziali legate alla viscosità. Si trascura in questa analisi l'attrito aria/acqua, acqua/acqua, acqua/fondo, quindi si trascura la perdita di energia col fondo e l'azione tangenziale del vento, allora la seconda ipotesi è quella di considerare il fluido perfetto.
Esplicitando i termini si ha che:
quindi scomponendo si ottiene:
.
Si fa ora l'ipotesi di vorticità nulla (valida se l'onda non frange), ovvero - considerando solo l'asse y -
. Da ciò ne consegue che il moto è irrotazionale quindi il campo di velocità ammette potenziale scalare φ noto in tutto il dominio che descrive il campo cinematico, tale che
e
.
L'equazione di continuità allora si trasforma nel laplaciano
, mentre riscrivendo le equazioni di bilancio si ha:
Il primo termine delle equazioni è identico per entrambe, quindi le costanti dipendono solo dal tempo. Si ottiene allora l'Equazione di Bernoulli:
![{\displaystyle \phi _{t}+{\frac {u^{2)){2))+{\frac {w^{2)){2))+{\frac {P}{\rho ))+gz=C(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec21055326fddc73138306e34e4bc6a4177b159e)
- Il fondale è descritto da tutti i punti che verificano
. Si impone che sia impermeabile e orizzontale, ovvero che le particelle si muovano solo in direzione orizzontale (altrimenti lascerebbero un vuoto o si creerebbe un vortice). Ne consegue che
, ovvero
(condizione cinematica).
- La superficie libera è descritta da tutti i punti che verificano
e anche qui si pone
, ovvero
. Essendo in superficie la pressione pari a quella atmosferica (P = Patm = 0), sostituendo in Bernoulli si ha:
(condizione dinamica).
- Teoria delle onde progressive monocromatiche su fondale costante:
- Si considera che le onde mantengono costante la forma e quindi si impone la condizione di periodicità, ovvero ciò che accade su un contorno è identico a ciò che accade sull'altro, quindi
.
Le equazioni che governano il fenomeno non sono lineari. Si pone quindi la fondamentale ipotesi che le onde abbiano piccola ampiezza rispetto alla profondità e alla lunghezza, ovvero
ovvero la ripidità h/L (data anche da ηx) è molto bassa.
Dalla condizione sulla superficie libera si può trascurare il prodotto
e
(acqua va più veloce se onda è più grande a parità di periodo). Dalla condizione dinamica, essendo u e v dipendenti da a, la loro potenza è trascurabile.
In z=0 quindi si ha:
dove però non è conosciuta la η, resa indistinguibile dal livello indisturbato.
La soluzione del problema è:
![{\displaystyle \phi ={\frac {ag}{\omega ))\ {\frac {\cosh {k(h+z))){\cosh {k(h)))}\ \sin {kx-\omega t))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea9cdfa788545bba9e181fce38ac3dd49054c3c2)
con
e
, dove L è la lunghezza dell'onda e T il suo periodo.
⇒ Verificato
, verificata in quanto ![{\displaystyle \sinh {k(h-h)}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c381bbdcee7de5b5c1a8b1edc4490e67079b1bfd)
- Dinamica:
. Da questa si dimostra che l'elevazione della superficie libera è descritta da una funzione periodica di altezza a: ![{\displaystyle \eta =a\ \cos {kx-\omega t))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afd36a0085cfc944d30a955d7b216dadc806e03f)
- Cinematica:
. Da questa si ottiene l'importantissima relazione di dispersione
che lega tra loro L,h e T. Esplicitando rispetto a L si ha
. Ne consegue che la celerità di fase è data da
.
La relazione della lunghezza è di tipo implicito, risolvibile per tentativi. È possibile però effettuare alcune semplificazioni.
Per h/L → ∝, ovvero in acqua profonda o onde corte, tanh(h/L) → 1 quindi, essendo g ≈ 9,81 m/s2,
e
.
Per h/L → 0, ovvero in acqua bassa o onde lunghe, tanh(h/L) → h/L quindi, essendo g ≈ 9,81 m/s2,
e
.
È possibile comunque utilizzare la seguente relazione esplicita per la lunghezza, che fornisce errori dell'ordine del 5%:
![{\displaystyle L=1,56T^{2}\tanh {(\sinh {\frac {2{\sqrt[{2}]{h))}{T)))))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/415595b571739fa3bd14f8f77f561ea434963565)