La teoria lineare del moto ondoso (Teoria di Airy) permette una trattazione semplificata della cinematica delle particelle fluide in posizione variata rispetto al livello indisturbato giungendo a relazioni per il calcolo della lunghezza e del periodo dell'onda e la sua elevazione dalla superficie libera.

Si consideri il sistema di riferimento cartesiano posizionato sulla superficie libera, con asse z verticale diretto verso l'alto e asse y normale al piano. Si definisce la profondità locale del fondale h(x) la distanza tra il fondale e la superficie libera (il "tirante" idrico, costante a meno di variazioni locali qui trascurate) e l'elevazione della superficie libera (η(x,t)) la distanza tra la superficie libera ed il livello indisturbato, concorde con l'asse z. Si introduce quindi la pressione P(x,z,t) e il campo di velocità istantanea dell'acqua V(x,z,t) avente componenti lungo x e z rispettivamente chiamate u(x,z,t) e w(x,z,t).

• Principio di conservazione della massa

Si fa l'ipotesi che il fluido sia incomprimibile a causa delle modeste sovrapressioni presenti, pertanto si ha che ${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {V))=0}$ ovvero ${\displaystyle u_{x}+w_{z}=0}$ (con il pedice qui si indica la variabile rispetto alla quale si sta operando la derivata parziale della funzione).

• Principio di conservazione della quantità di moto

${\displaystyle \rho {\frac {D{\vec {V))}{Dt))=\Sigma F_{m}+\Sigma F_{s))$, ovvero la variazione della quantità di moto è pari alla somma delle forze di massa e di superficie su un volume di controllo. Esplicitando si ha che:

* ∑ F_m: Forza di gravità + Forza di Coriolis, qui trascurabile in quanto non consideriamo domini geografici estesi

* ∑ F_s: Forze normali, di pressione, + Forze tangenziali legate alla viscosità. Si trascura in questa analisi l'attrito aria/acqua, acqua/acqua, acqua/fondo, quindi si trascura la perdita di energia col fondo e l'azione tangenziale del vento, allora la seconda ipotesi è quella di considerare il fluido perfetto.

Esplicitando i termini si ha che:

${\displaystyle {\begin{cases}F_{p}=-\nabla P\\F_{g}={\hat {i))\ 0+{\hat {k))(-\rho g)\end{cases))}$

quindi scomponendo si ottiene:

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}+u_{x}u+u_{z}w=-{\frac {P_{x)){\rho ))\\w_{t}+w_{x}u+w_{z}w=-{\frac {P_{z)){\rho ))-g\end{cases))}$.

Si fa ora l'ipotesi di vorticità nulla (valida se l'onda non frange), ovvero - considerando solo l'asse y - ${\displaystyle -w_{x}+u_{z}=0}$. Da ciò ne consegue che il moto è irrotazionale quindi il campo di velocità ammette potenziale scalare φ noto in tutto il dominio che descrive il campo cinematico, tale che ${\displaystyle \phi _{x}=u}$ e ${\displaystyle \phi _{z}=w}$.

L'equazione di continuità allora si trasforma nel laplaciano ${\displaystyle \nabla ^{2}\phi =0}$, mentre riscrivendo le equazioni di bilancio si ha:

${\displaystyle {\begin{cases}\phi _{t}+{\frac {u^{2)){2))+{\frac {w^{2)){2))+{\frac {P}{\rho ))+gz=C_{1}(z,t)\\\phi _{t}+{\frac {u^{2)){2))+{\frac {w^{2)){2))+{\frac {P}{\rho ))+gz=C_{2}(x,t)\end{cases))}$

Il primo termine delle equazioni è identico per entrambe, quindi le costanti dipendono solo dal tempo. Si ottiene allora l'Equazione di Bernoulli:

${\displaystyle \phi _{t}+{\frac {u^{2)){2))+{\frac {w^{2)){2))+{\frac {P}{\rho ))+gz=C(t)}$

• Fondale:

Il fondale è descritto da tutti i punti che verificano ${\displaystyle F:z+h=0}$. Si impone che sia impermeabile e orizzontale, ovvero che le particelle si muovano solo in direzione orizzontale (altrimenti lascerebbero un vuoto o si creerebbe un vortice). Ne consegue che ${\displaystyle {\frac {dF}{dt))=0}$, ovvero ${\displaystyle w+h_{x}u=0}$ (condizione cinematica).

• Superficie libera:

La superficie libera è descritta da tutti i punti che verificano ${\displaystyle F:z-\eta =0}$ e anche qui si pone ${\displaystyle {\frac {dF}{dt))=0}$, ovvero ${\displaystyle \phi _{z}-\eta _{x}\phi _{x}-\eta _{t}=0}$. Essendo in superficie la pressione pari a quella atmosferica (P = P_atm = 0), sostituendo in Bernoulli si ha:

${\displaystyle \phi _{t}+{\frac {1}{2))(u^{2}+w^{2})+g\eta =0}$ (condizione dinamica).

• Teoria delle onde progressive monocromatiche su fondale costante:

Si considera che le onde mantengono costante la forma e quindi si impone la condizione di periodicità, ovvero ciò che accade su un contorno è identico a ciò che accade sull'altro, quindi ${\displaystyle \phi (x+L,z,T)=\phi (x,z,t)}$.

Le equazioni che governano il fenomeno non sono lineari. Si pone quindi la fondamentale ipotesi che le onde abbiano piccola ampiezza rispetto alla profondità e alla lunghezza, ovvero ${\displaystyle {\frac {a}{L)),{\frac {a}{h))<<1}$ ovvero la ripidità h/L (data anche da η_x) è molto bassa. Dalla condizione sulla superficie libera si può trascurare il prodotto ${\displaystyle \phi _{x}\eta _{x))$ e ${\displaystyle \eta _{t}=\phi _{z))$ (acqua va più veloce se onda è più grande a parità di periodo). Dalla condizione dinamica, essendo u e v dipendenti da a, la loro potenza è trascurabile. In z=0 quindi si ha:

${\displaystyle {\begin{cases}\eta _{t}-\phi _{z}=0\\\phi _{t}+g\eta =0\end{cases))}$

dove però non è conosciuta la η, resa indistinguibile dal livello indisturbato.

La soluzione del problema è:

${\displaystyle \phi ={\frac {ag}{\omega ))\ {\frac {\cosh {k(h+z))){\cosh {k(h)))}\ \sin {kx-\omega t))$

con ${\displaystyle k={\frac {2\pi }{L))}$ e ${\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{T))}$, dove L è la lunghezza dell'onda e T il suo periodo.

• Laplace:

${\displaystyle \phi _{xx}=-{\frac {k^{2}ag}{\omega ))\ {\frac {\cosh {k(h+z))){\cosh {k(h)))}\ \sin {kx-\omega t}=-\phi _{zz}={\frac {k^{2}ag}{\omega ))\ {\frac {\cosh {k(h+z))){\cosh {k(h)))}\ \sin {kx-\omega t))$ ⇒ Verificato

• Fondale:

${\displaystyle \phi _{z}=0}$, verificata in quanto ${\displaystyle \sinh {k(h-h)}=0}$

• Superficie libera:

Dinamica: ${\displaystyle \phi _{t}+g\eta =0}$. Da questa si dimostra che l'elevazione della superficie libera è descritta da una funzione periodica di altezza a: ${\displaystyle \eta =a\ \cos {kx-\omega t))$

Cinematica: ${\displaystyle \phi _{x}+\eta _{t}=0}$. Da questa si ottiene l'importantissima relazione di dispersione ${\displaystyle \omega ^{2}=gk\tanh {kh))$ che lega tra loro L,h e T. Esplicitando rispetto a L si ha ${\displaystyle L={\frac {gT^{2)){2\pi ))\tanh {2\pi {\frac {h}{L))))$. Ne consegue che la celerità di fase è data da ${\displaystyle c={\frac {gT}{2\pi ))\tanh {2\pi {\frac {h}{L))))$.

La relazione della lunghezza è di tipo implicito, risolvibile per tentativi. È possibile però effettuare alcune semplificazioni.

Per h/L → ∝, ovvero in acqua profonda o onde corte, tanh(h/L) → 1 quindi, essendo g ≈ 9,81 m/s², ${\displaystyle L_{0}=1,56T^{2))$ e ${\displaystyle c_{0}=1,56T}$.

Per h/L → 0, ovvero in acqua bassa o onde lunghe, tanh(h/L) → h/L quindi, essendo g ≈ 9,81 m/s², ${\displaystyle L_{s}={\sqrt[{2}]{gh))\ T}$ e ${\displaystyle c={\sqrt[{2}]{gh))}$.

È possibile comunque utilizzare la seguente relazione esplicita per la lunghezza, che fornisce errori dell'ordine del 5%:

${\displaystyle L=1,56T^{2}\tanh {(\sinh {\frac {2{\sqrt[{2}]{h))}{T)))))$