Магнитная индукция
${\displaystyle {\vec {B))}$
Размерность	MT−2I−1
Единицы измерения
СИ	Тл
СГС	Гс
Примечания
Векторная величина

Магни́тная инду́кция — векторная физическая величина, являющаяся силовой характеристикой магнитного поля, а именно характеристикой его действия на движущиеся заряженные частицы и на обладающие магнитным моментом тела.

Стандартное обозначение: ${\displaystyle {\vec {B))}$; единица измерения в СИ — тесла (Тл), в СГС — гаусс (Гс) (связь: 1 Тл = 10⁴ Гс).

Величина магнитной индукции фигурирует в ряде важнейших формул электродинамики, включая уравнения Максвелла.

Для измерения магнитной индукции ${\displaystyle {\vec {B))}$ используются магнитометры-тесламетры. Также она может быть найдена расчётным путём — в статической ситуации для этого достаточно знать пространственное распределение токов.

Вектор ${\displaystyle {\vec {B))}$ в общем случае зависит от координат рассматриваемой точки и времени ${\displaystyle t}$. Он не инвариантен относительно преобразований Лоренца и изменяется при смене системы отсчёта.

Физический смысл

Магнитная индукция ${\displaystyle {\vec {B))}$ — это такой вектор, что сила Лоренца ${\displaystyle {\vec {F))}$, действующая со стороны магнитного поля^[1] на заряд ${\displaystyle q^{*))$, движущийся со скоростью ${\displaystyle {\vec {v))}$, равна

${\displaystyle {\vec {F))=q^{*}\left[{\vec {v))\times {\vec {B))\right]}$

(по величине ${\displaystyle F=q^{*}vB\sin \alpha }$).

Косым крестом обозначено векторное произведение, α — угол между векторами скорости и магнитной индукции (вектор ${\displaystyle {\vec {F))}$ перпендикулярен им обоим и направлен по правилу левой руки).

Также магнитная индукция может быть определена^[2] как отношение максимального механического момента сил, действующих на рамку с током, помещённую в предполагаемое однородным (на расстояниях порядка размера рамки) магнитное поле, к произведению силы тока ${\displaystyle I^{*))$ в рамке на её площадь. Момент сил зависит от ориентации рамки и достигает максимального значения при каких-то определённых углах. Звёздочка у символа указывает на то, что заряд или ток являются «пробными», то есть используемыми именно для регистрации поля, в отличие от тех же величин без звёздочки.

Магнитная индукция выступает основной, фундаментальной характеристикой магнитного поля, аналогичной вектору напряжённости электрического поля ${\displaystyle {\vec {E))}$.

Способы расчёта

Общий случай

В общем случае расчёт магнитной индукции проводится совместно с расчётом электрической составляющей электромагнитного поля посредством решения системы уравнений Максвелла:

${\displaystyle \mathrm {div} \,(\varepsilon {\vec {E)))={\frac {\rho }{\varepsilon _{0))},\ \ \ \mathrm {rot} \,{\vec {E))=-{\frac {\partial {\vec {B))}{\partial t)),}$

${\displaystyle \mathrm {div} \,{\vec {B))=0,\ \ \ \ \,\mathrm {rot} \,{\frac {\vec {B)){\mu ))=\mu _{0}{\vec {j))+{\frac {\varepsilon }{c^{2))}{\frac {\partial {\vec {E))}{\partial t))}$,

где ${\displaystyle \mu _{0))$ — магнитная постоянная, ${\displaystyle \mu }$ — магнитная проницаемость, ${\displaystyle \varepsilon }$ — диэлектрическая проницаемость, а ${\displaystyle c}$ — скорость света в вакууме. Через ${\displaystyle \rho }$ обозначена плотность заряда (Кл/м³) и через ${\displaystyle {\vec {j))}$ плотность тока (А/м²).

Магнитостатика

В магнитостатическом пределе^[3] расчёт магнитного поля может быть выполнен с использованием формулы Био—Савара—Лапласа. Вид этой формулы несколько различен для ситуаций, когда поле создаётся текущим по проводу ${\displaystyle L_{1))$ током ${\displaystyle I}$ и когда оно создаётся объёмным распределением тока:

${\displaystyle {\vec {B))\left({\vec {r))\right)={\mu _{0} \over 4\pi }\int \limits _{L_{1)){\frac {I\left({\vec {r))_{1}\right)d{\vec {l))_{1}\times \left({\vec {r))-{\vec {r))_{1}\right)}{\left|{\vec {r))-{\vec {r))_{1}\right|^{3))},\qquad {\vec {B))\left({\vec {r))\right)={\mu _{0} \over 4\pi }\int {\frac ((\vec {j))\left({\vec {r))_{1}\right)dV_{1}\times \left({\vec {r))-{\vec {r))_{1}\right)}{\left|{\vec {r))-{\vec {r))_{1}\right|^{3))))$.

В магнитостатике эта формула играет ту же роль, что закон Кулона в электростатике. Формула позволяет вычислить магнитную индукцию в вакууме. Для случая магнитной среды необходимо использовать уравнения Максвелла (без слагаемых с производными по времени).

Если заранее очевидна геометрия поля, помогает теорема Ампера о циркуляции магнитного поля^[4] (эта запись является интегральной формой уравнения Максвелла для ${\displaystyle \mathrm {rot} \,{\vec {B))}$ в вакууме):

${\displaystyle \oint \limits _{L}{\vec {B))\cdot d{\vec {l))=\mu _{0}\int \limits _{S}{\vec {j))\cdot d{\vec {S))}$.

Здесь ${\displaystyle S}$ — произвольная поверхность, натянутая на выбранный замкнутый контур ${\displaystyle L}$.

Простые примеры

Вектор магнитной индукции прямого провода с током ${\displaystyle I}$ на расстоянии ${\displaystyle a}$ от него составляет

${\displaystyle {\vec {B))={\frac {\mu _{0}\mu I}{2\pi a))\cdot {\vec {e))_{\varphi ))$,

где ${\displaystyle {\vec {e))_{\varphi ))$ — единичный вектор вдоль окружности, по оси симметрии которой проложен провод. Предполагается, что среда однородна.

Вектор магнитной индукции прямого внутри соленоида с током ${\displaystyle I}$ и числом витков на единицу длины ${\displaystyle n}$ равен

${\displaystyle {\vec {B))=\mu _{0}\mu nI\cdot {\vec {e))_{z))$,

где ${\displaystyle {\vec {e))_{z))$ — единичный вектор вдоль оси соленоида. Здесь также предполагается однородность магнетика, которым заполнен соленоид.

Связь с напряжённостью

Магнитная индукция и напряжённость магнитного поля связаны через соотношение

${\displaystyle {\vec {B))=\mu _{0}\mu {\vec {H))}$,

где ${\displaystyle \mu }$ — магнитная проницаемость среды (в общем случае это тензорная величина, но в большинстве реальных случаев её можно считать скаляром, то есть просто константой конкретного материала).

Основные уравнения

Поскольку вектор магнитной индукции является одной из основных фундаментальных физических величин в теории электромагнетизма, он входит в большое число уравнений, иногда непосредственно, иногда через связанную с ним напряжённость магнитного поля. По сути, единственная область в классической теории электромагнетизма, где он отсутствует, — это электростатика.

Некоторые из уравнений:

• Три из выписанных выше четырех уравнений Максвелла (основных уравнений электродинамики). Их физическое содержание: уравнение для ${\displaystyle \mathrm {div} \,{\vec {B))}$ — закон отсутствия монополя, для ${\displaystyle \mathrm {rot} \,{\vec {E))}$ — закон электромагнитной индукции Фарадея, для ${\displaystyle \mathrm {rot} \,{\vec {B))}$ — закон Ампера — Максвелла.
• Формула силы Лоренца при наличии и магнитного (${\displaystyle {\vec {B))}$), и электрического (${\displaystyle {\vec {E))}$) поля:

  ${\displaystyle {\vec {F))=q^{*}{\vec {E))+q^{*}\left[{\vec {v))\times {\vec {B))\right]}$.

• Выражение для силы Ампера, действующей со стороны магнитного поля на ток (участок провода с током):

  ${\displaystyle d{\vec {F))=\left[I^{*}{\vec {dl))\times {\vec {B))\right]}$ или ${\displaystyle d{\vec {F))=\left[{\vec {j))^{*}dV\times {\vec {B))\right]}$.

• Выражение для момента силы, действующего со стороны магнитного поля на магнитный диполь ${\displaystyle m^{*))$ (виток с током, катушку или постоянный магнит):

  ${\displaystyle {\vec {M))={\vec {m))^{*}\times {\vec {B))}$.

• Выражение для потенциальной энергии магнитного диполя в магнитном поле:

  ${\displaystyle U=-{\vec {m))^{*}\cdot {\vec {B))}$,

из которого следуют выражения для силы, действующей на магнитный диполь в неоднородном магнитном поле,

• Выражение для силы, действующей со стороны магнитного поля на точечный магнитный заряд:

  ${\displaystyle {\vec {F))=K{\frac {q_{m}^{*}{\vec {r))}{r^{3))}.}$

(это выражение, точно соответствующее обычному закону Кулона, широко используется для формальных вычислений, для которых ценна его простота, несмотря на то, что реальных магнитных зарядов в природе не обнаружено; также может прямо применяться к вычислению силы, действующей со стороны магнитного поля на полюс длинного тонкого магнита или соленоида).

• Выражение для плотности энергии магнитного поля

  ${\displaystyle w={\frac {B^{2)){2\mu _{0}\mu ))}$.

Оно входит (вместе с энергией электрического поля) и в выражение для энергии электромагнитного поля, и в лагранжиан электромагнитного поля, и в его действие. Последнее же с современной точки зрения является фундаментальной основой электродинамики (как классической, так в принципе и квантовой).

Типичные значения

характерные значения магнитной индукции

объект	${\displaystyle B}$, Тл	объект	${\displaystyle B}$, Тл
магнитоэкранируемая комната	10-14	солнечное пятно	0,15
межзвёздное пространство	10-10	небольшой магнит (Nd-Fe-B)	0,2
магнитное поле Земли	5*10-5	большой электромагнит	1,5
1 см от провода с током 100 А	2*10-3	сильный лабораторный магнит	10
небольшой магнит (феррит)	0,01	поверхность нейтронной звезды	108

Примечания

См. также

• Векторный потенциал
• Уравнения Максвелла
• Электромагнитное поле
• Тензор электромагнитного поля
• Напряжённость магнитного поля