Си́ла Ло́ренца — сила, с которой электромагнитное поле, согласно классической (неквантовой) электродинамике^[1], действует на точечную заряженную частицу^[2][3]. Иногда силой Лоренца называют силу, действующую на движущийся со скоростью ${\displaystyle \mathbf {v} }$ заряд ${\displaystyle q\ }$ лишь со стороны магнитного поля, нередко же полную силу — со стороны электромагнитного поля вообще^[4], иначе говоря, со стороны электрического ${\displaystyle \mathbf {E} }$ и магнитного ${\displaystyle \mathbf {B} }$ полей. В Международной системе единиц (СИ) выражается как^[5][2]:

Электромагнитная сила, действующая на заряд q, представляет собой комбинацию силы, действующей в направлении электрического поля ${\displaystyle \mathbf {E} }$, пропорциональной величине поля и количеству заряда, и силы, действующей под прямым углом к магнитному полю ${\displaystyle \mathbf {B} }$ и скорости ${\displaystyle \mathbf {v} }$, пропорциональной величине магнитного поля, заряду и скорости. Вариации этой базовой формулы описывают магнитную силу, действующую на проводник с током (иногда называемую силой Лапласа), электродвижущую силу в проволочной петле, движущейся через область с магнитным полем (закон индукции Фарадея), и силу, действующую на движущиеся заряженные частицы.

Историки науки предполагают, что этот закон подразумевался в статье Джеймса Клерка Максвелла, опубликованной в 1865 году^[6]. Хендрик Лоренц привёл полный вывод этой формулы в 1895 г.^[7], определив вклад электрической силы через несколько лет после того, как Оливер Хевисайд правильно определил вклад магнитной силы^[8][9].

Для силы Лоренца, так же как и для сил инерции, нарушается третий закон Ньютона (понимаемый как декларация совпадения, с точностью до знака, сил воздействия двух тел друг на друга). Восстановить справедливость этого закона Ньютона в случае силы Лоренца можно переформулировав его как закон сохранения импульса (ЗСИ) в замкнутой системе из частиц и электромагнитного поля^[10].

Полный вывод такого утверждения требует определения понятия «импульс поля», а едва ли не единственный способ сделать это — привлечь теорему Эммы Нётер (и тесно связанное с ней понятие тензора энергии-импульса) в классической (неквантовой) теории поля в лагранжевом формализме. Однако характерный импульс поля/волны («давление света») во многих реальных технических применениях представляет собой исчезающе малую величину (импульс поля равен его характерной энергии, делённой на скорость света ${\displaystyle c}$). Это означает справедливость ЗСИ для одного лишь заряженного вещества, и, в свою очередь, если вещество состоит из всего 2 материальных точек — справедливость третьего закона Ньютона (он равносилен ЗСИ для замкнутой системы, которая есть пара материальных точек/тел).

Сила Лоренца как определение E и B

Во многих учебниках по электромагнетизму силу Лоренца используют в качестве определения электрического и магнитного полей E и B^[11][12][13]. В частности, сила Лоренца понимается как следующее эмпирическое утверждение:

Электромагнитная сила F, действующая на пробный заряд в данной точке и момент времени, является определённой функцией его заряда q и скорости v, которая может быть параметризована ровно двумя векторами E и B в функциональной форме :

${\displaystyle \mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )}$.

Это выражение верно в том числе для случая движения частицы со скоростью близкой по величине к скорости света (v = | v | ≈ c).^[14] Таким образом, два векторных поля E и B определяются во всём пространстве и времени, и они называются «электрическим полем» и «магнитным полем». Поля определены повсюду в пространстве и времени относительно силы, которую испытывает пробный заряд, помещённый в электромагнитное поле.

Как определение E и B, сила Лоренца является только определением в принципе, потому что реальная частица (в отличие от гипотетического пробного тела бесконечно малой массы и заряда) будет создавать свои собственные конечные поля E и B, изменяющие электромагнитную силу, которую он испытывает. Вдобавок, заряд в магнитном поле обычно движется по криволинейной траектории, то есть с ускорением — а значит, он испускает излучение и теряет кинетическую энергию (см., например, статьи тормозное излучение или синхротронное излучение). Эти эффекты возникают за счёт как прямого воздействия (так называемой силы реакции излучения), так и косвенного (путём воздействия на движение близлежащих зарядов и токов).

Уравнение

Заряженная частица

Сила F, действующая на частицу с электрическим зарядом q и мгновенной скоростью v из-за внешнего электрического поля E и магнитного поля B, определяется выражением (в единицах СИ):^[15]

${\displaystyle {\vec {\mathbf {F} ))=q({\vec {\mathbf {E} ))+[{\vec {\mathbf {v} )),{\vec {\mathbf {B} ))])}$

где знак × обозначает векторное произведение (все величины, выделенные жирным шрифтом, являются векторами). В декартовых компонентах

${\displaystyle F_{x}=q(E_{x}+v_{y}B_{z}-v_{z}B_{y}),}$

${\displaystyle F_{y}=q(E_{y}+v_{z}B_{x}-v_{x}B_{z}),}$

${\displaystyle F_{z}=q(E_{z}+v_{x}B_{y}-v_{y}B_{x}).}$

В общем случае, электрическое и магнитное поля зависят от координат и времени. Следовательно, в явном виде силу Лоренца можно записать как

${\displaystyle \mathbf {F} \left(\mathbf {r} ,\mathbf {\dot {r)) ,t,q\right)=q\left[\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)+\mathbf {\dot {r)) \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)\right]}$,

где r — вектор положения заряженной частицы, t — время, а точка обозначает производную по времени.

Положительно заряженная частица будет ускоряться в том же направлении, что и поле E, но её траектория будет изгибаться перпендикулярно как вектору мгновенной скорости v, так и полю B в соответствии с правилом буравчика (если пальцы правой руки вытянуты так, чтобы указывать в направлении v, а затем изгибаются так, чтобы указывать в направлении B, тогда вытянутый большой палец будет указывать в направлении F).

Член q E называется электрической силой, а член q (v × B) — магнитной силой^[16]. Согласно некоторым определениям, термин «сила Лоренца» относится конкретно к формуле для магнитной силы^[17], а формуле с общей электромагнитной силой (включая электрическую силу), дано другое название. В дальнейшем термин «сила Лоренца» будет относиться к выражению для полной силы.

Магнитная составляющая силы Лоренца проявляется как сила, действующая на помещённый в магнитное поле проводник с током. В этом контексте эта сила также называется силой Лапласа.

Сила Лоренца — это сила воздействия электромагнитного поля на заряженную частицу, или. другими словами, скорость, с которой передаётся линейный импульс от электромагнитного поля частице. С ним связана мощность, которая представляет собой скорость, с которой энергия передаётся от электромагнитного поля частице:

${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {F} =q\,\mathbf {v} \cdot \mathbf {E} }$.

Магнитное поле не совершает работы, потому что магнитная сила всегда перпендикулярна скорости частицы.

Непрерывное распределение заряда

Для непрерывного распределения заряда, находящегося в движении, уравнение для силы Лоренца принимает дифференциальный вид

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {F} =\mathrm {d} q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\,\!}$,

где ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {F} }$ — сила, действующая на небольшой элемент объёма с зарядом ${\displaystyle \mathrm {d} q}$. Если обе части данного уравнения разделить на объём этого небольшого фрагмента распределения заряда ${\displaystyle \mathrm {d} V}$, то получится выражение

${\displaystyle \mathbf {f} =\rho \left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\,\!}$,

где ${\displaystyle \mathbf {f} }$ — плотность силы (сила на единицу объёма) и ${\displaystyle \rho }$ — плотность заряда (заряд на единицу объёма). Далее, плотность тока, соответствующая движению заряда, равна

${\displaystyle \mathbf {J} =\rho \mathbf {v} \,\!}$,

так что непрерывным аналогом уравнения для силы Лоренца является выражение^[18]

${\displaystyle \mathbf {f} =\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} \,\!}$

К полной силе можно прийти вычислив объемный интеграл по распределению заряда:

${\displaystyle \mathbf {F} =\iiint \!(\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} )\,\mathrm {d} V\,\!}$.

Устраняя ${\displaystyle \rho }$ и ${\displaystyle \mathbf {J} }$ через уравнения Максвелла, с помощью теорем векторного исчисления эту форму уравнения можно использовать для вывода тензора напряжений Максвелла ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma ))}$ и, комбинируя с вектором Пойнтинга ${\displaystyle \mathbf {E} \times \mathbf {H} }$ (здесь ${\displaystyle \mathbf {H} }$ — напряжённость магнитного поля), получить тензор T энергии-импульса электромагнитного поля, применяемый в общей теории относительности^[18].

В терминах ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma ))}$ и вектора Пойнтинга можно записать силу Лоренца (на единицу объёма) в виде^[18]

${\displaystyle \mathbf {f} =\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma ))-{\dfrac {1}{c^{2))}{\dfrac {\partial [\mathbf {E} \times \mathbf {H} ]}{\partial t))\,\!}$,

где ${\displaystyle c}$ — скорость света, ∇ · обозначает дивергенцию тензорного поля. Это уравнение связывает не количество заряда и его скорость в электрическом и магнитном полях, а плотность потока импульса (первый член справа) электромагнитного поля и изменение плотности потока энергии поля (второй член справа) с силой, действующей на распределение заряда.

Плотность мощности, связанная с силой Лоренца в материальной среде, равна

${\displaystyle \mathbf {J} \cdot \mathbf {E} }$.

Если разделить полный заряд и полный ток на их свободную и связанную части, получится, что плотность силы Лоренца равна

${\displaystyle \mathbf {f} =(\rho _{f}-\nabla \cdot \mathbf {P} )\mathbf {E} +(\mathbf {J} _{f}+\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t)))\times \mathbf {B} }$,

где ${\displaystyle \rho _{f))$ — плотность свободного заряда; ${\displaystyle \mathbf {P} }$ — поляризация ; ${\displaystyle \mathbf {J} _{f))$ — плотность тока свободных зарядов; и ${\displaystyle \mathbf {M} }$ — намагниченность. Таким образом, сила Лоренца может объяснить крутящий момент, приложенный к постоянному магниту из-за внешнего магнитного поля.

Уравнение в единицах СГС

В приведённых выше формулах используются единицы СИ, которые являются наиболее распространёнными среди экспериментаторов, техников и инженеров. В системе СГС, которая более распространена среди физиков-теоретиков, сила Лоренца примет вид

${\displaystyle \mathbf {F} =q_{\mathrm {cgs} }\left(\mathbf {E} _{\mathrm {cgs} }+{\frac {\mathbf {v} }{c))\times \mathbf {B} _{\mathrm {cgs} }\right)}$,

где c — скорость света. Хотя это уравнение выглядит несколько иначе, оно полностью эквивалентно, поскольку новые величины связаны в двух системах единиц соотношениями

${\displaystyle q_{\mathrm {cgs} }={\frac {q_{\mathrm {SI} )){\sqrt {4\pi \epsilon _{0)))),\quad \mathbf {E} _{\mathrm {cgs} }={\sqrt {4\pi \epsilon _{0))}\,\mathbf {E} _{\mathrm {SI} },\quad \mathbf {B} _{\mathrm {cgs} }={\sqrt {4\pi /\mu _{0))}\,{\mathbf {B} _{\mathrm {SI} )),\quad c={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\mu _{0)))).}$

где ε ₀ — диэлектрическая проницаемость вакуума, а μ ₀ — магнитная проницаемость вакуума. На практике индексы «cgs» и «SI» всегда опускаются, и система единиц измерения должна быть понятна из контекста.

Частные случаи

В однородном магнитном поле, направленном перпендикулярно вектору скорости, под действием силы Лоренца заряженная частица будет равномерно двигаться по окружности постоянного радиуса ${\displaystyle r}$ (называемого также гирорадиусом). Сила Лоренца в этом случае является центростремительной силой:

Работа силы Лоренца будет равна нулю, поскольку векторы силы и скорости всегда ортогональны. При скорости ${\displaystyle v\ }$, намного меньшей скорости света, круговая частота ${\displaystyle \omega \ }$ не зависит от ${\displaystyle v\ }$:

Если заряженная частица движется в магнитном поле так, что вектор скорости ${\displaystyle v\ }$ составляет с вектором магнитной индукции ${\displaystyle \mathbf {B} }$ угол ${\displaystyle \alpha \ }$, то траекторией движения частицы является винтовая линия с радиусом ${\displaystyle r\ }$ и шагом винта ${\displaystyle h\ }$:

История

Первые попытки количественного описания электромагнитной силы были предприняты в середине 18 века. Иоганн Тобиас Майер и другие в 1760 году^[19] предполагали, что сила взаимодействия между магнитными полюсами как и сила действующая между электрически заряженными объектами, установленная Генри Кавендишем в 1762 году^[20], подчиняются закону обратных квадратов. Однако в обоих случаях экспериментальное доказательство не было ни полным, ни окончательным. Только в 1784 году Шарль-Огюстен де Кулон, используя крутильные весы, смог окончательно экспериментально показать правдивость этого предположения.^[21] Вскоре после открытия в 1820 году Хансом Кристианом Эрстедом того факта, что на магнитную стрелку действует электрический ток, Андре-Мари Ампер в том же году смог экспериментально получить формулу угловой зависимости силы между двумя элементами тока.^[22][23] Во всех этих описаниях сила всегда описывалась в терминах свойств вещества и расстояний между двумя массами или зарядами, а не в терминах электрических и магнитных полей.^[24]

Современная концепция электрических и магнитных полей впервые возникла в теориях Майкла Фарадея, особенно удачной оказалась его идея силовых линий, которая позже получила полное математическое описание лордом Кельвином и Джеймсом Клерком Максвеллом.^[25] С современной точки зрения, в формулировке Максвелла 1865 г. его уравнений для электромагнитного поля можно получить уравнение для силы Лоренца по отношению к электрическим токам^[6], хотя во времена Максвелла не было очевидно, как его уравнения связаны с силами при перемещении заряженных предметов. Дж. Дж. Томсон был первым, кто попытался вывести из уравнений Максвелла поля электромагнитные силы, действующие на движущийся заряженный объект, в терминах свойств объекта и внешних полей. Заинтересовавшийся поведением заряженных частиц в катодных лучах, Томсон опубликовал статью в 1881 году, в которой он дал определение силы, действующей на частицы, обусловленную внешним магнитным полем, в виде^[8]

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {q}{2))\mathbf {v} \times \mathbf {B} .}$

Томсон вывел правильную основную форму формулы, но из-за некоторых ошибок и неполного описания тока смещения перед формулой включил неверный масштабный коэффициент, равный половине. Оливер Хевисайд изобрёл современные векторные обозначения и переписал в их терминах полевые уравнения Максвелла; он также (в 1885 и 1889 годах) исправил ошибки вывода Томсона и пришёл к правильному виду для магнитной силы действующей на движущуюся заряженную частицу.^[8][25][26] Наконец, в 1895 году^[7][27] Хендрик Лоренц пришёл к современному виду формулы для электромагнитной силы, которая включает вклады как электрического, так и магнитного полей. Лоренц вначале отказался от максвелловского описания эфира и проводимости. Вместо этого Лоренц указал на различия между материей и светоносным эфиром и записал уравнения Максвелла в микроскопическом масштабе. Используя версию уравнений Максвелла Хевисайда для неподвижного эфира и, применяя лагранжевую механику (см. Ниже), Лоренц пришёл к правильной и полной форме закона для электромагнитной силы, который теперь носит его имя.^[25][28]

Траектории частиц под действием силы Лоренца

Во многих случаях, представляющих практический интерес, движение в магнитном поле электрически заряженной частицы (например, электрона или иона в плазме) можно рассматривать как суперпозицию относительно быстрого кругового движения вокруг точки, которая дрейфует в направлении перпендикулярном электрическому и магнитным полям. Скорости дрейфа могут различаться в зависимости от их зарядового состояния, массы или температуры, что может привести к электрическим токам или химическому разделению.

Значение силы Лоренца

В то время как современные уравнения Максвелла описывают то, как электрически заряженные частицы и токи или движущиеся заряженные частицы вызывают электрические и магнитные поля, сила Лоренца дополняет эту картину, описывая силу, действующую на движущийся точечный заряд q в присутствии электромагнитных полей.^[15][29] Хотя сила Лоренца описывает действие E и B на точечный заряд, но такие электромагнитные силы не являются всей картиной. Заряженные частицы, возможно, связаны с другими силами, особенно с гравитацией и ядерными силами. Таким образом, уравнения Максвелла не отделены от других физических законов, а связаны с ними через плотности заряда и тока. Реакция точечного заряда на закон Лоренца — это один из аспектов; генерация E и B токами и зарядами — другое.

В реальных материалах сила Лоренца неадекватно описывает коллективное поведение заряженных частиц как в принципе, так и с точки зрения вычислений. Заряженные частицы в материальной среде не только реагируют на поля E и B, но и создают эти поля сами. Для определения временной и пространственной реакции зарядов необходимо решать сложные уравнения переноса, например, уравнение Больцмана, уравнение Фоккера — Планка или уравнения Навье — Стокса. (Например, см. статьи Магнитная гидродинамика, Гидроаэродинамика, Электрогидродинамика, Сверхпроводимость, Эволюция звёзд). Разработан физический аппарат для решения этих вопросов (формулы Грина — Кубо, функции Грина (теория многих тел)).

Сила на токоведущем проводе

Когда провод, по которому течёт электрический ток, помещается в магнитное поле, каждый из движущихся зарядов, составляющих ток, испытывает силу Лоренца, и вместе они могут создавать макроскопическую силу действующую на проводе (иногда называемую силой Лапласа). Комбинируя приведённый выше закон Лоренца с определением электрического тока, в случае прямого неподвижного провода получается следующее уравнение:^[30]

${\displaystyle \mathbf {F} =I{\boldsymbol {\ell ))\times \mathbf {B} }$,

где ℓ — вектор, величина которого равна длине провода, а направление — вдоль провода, совмещённое с направлением обычного тока I.

Если провод не прямой, а изогнутый, то силу, действующую на него, вычисляют, применив данную формулу к каждому бесконечно малому отрезку провода dℓ, а затем сложив все эти силы путём интегрирования. Формально результирующая сила, действующая на неподвижный жёсткий провод, по которому течёт постоянный ток I равна

${\displaystyle \mathbf {F} =I\int \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell ))\times \mathbf {B} }$.

Это полная сила. Кроме того, обычно возникает крутящий момент и другие эффекты, если проволока не совсем жёсткая.

Одним из применений этого является закон силы Ампера, который описывает, как два токоведущих провода притягиваться или отталкиваться друг от друга, в зависимости от направления тока, поскольку каждый из них испытывает силу Лоренца от магнитного поля создаваемого другим током.

ЭДС

Магнитная сила (qv × B) в выражении силы Лоренца отвечает за двигательную электродвижущую силу (или двигательную ЭДС), явление, лежащее в основе действия многих электрических генераторов. Когда проводник перемещается через область магнитного поля, магнитное поле оказывает противоположно направленные силы на электроны и ядра в проводе, и это создаёт ЭДС. Термин «двигательная ЭДС» применяется к этому явлению, поскольку ЭДС возникает из-за движения провода.

В других электрических генераторах магниты движутся, а проводники — нет. В этом случае ЭДС возникает из-за электрической силы (q E) в уравнении для силы Лоренца. Рассматриваемое электрическое поле создается изменяющимся магнитным полем, приводящим к возникновению индуцированной ЭДС, как описано уравнением Максвелла — Фарадея.^[31]

Обе эти ЭДС, несмотря на их явно различное происхождение, описываются одним и тем же уравнением, а именно ЭДС — это скорость изменения магнитного потока через провод. Это закон электромагнитной индукции Фарадея, см. Ниже. Специальная теория относительности Эйнштейна была частично мотивирована желанием лучше понять эту связь между двумя эффектами.^[31] Фактически, электрическое и магнитное поля представляют собой разные грани единого электромагнитного поля (разные элементы единой матрицы тензора силы поля Fij), и при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой (то есть применении операции замены базиса к матрице Fij) часть электромагнитного векторного поля E можно полностью или частично заменить на B или наоборот^[32].

Сила Лоренца и закон индукции Фарадея

Для петли из провода находящуюся в магнитном поле, закон индукции Фарадея утверждает, что наведённая электродвижущая сила (ЭДС) в проводе равна:

${\displaystyle {\mathcal {E))=-{\frac {\mathrm {d} \Phi _{B)){\mathrm {d} t))}$,

где

${\displaystyle \Phi _{B}=\iint _{\Sigma (t)}\mathrm {d} \mathbf {S} \cdot \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)}$

— магнитный поток через петлю, B — магнитное поле, Σ (t) — поверхность, ограниченная замкнутым контуром ∂Σ (t), в момент времени t, dS — бесконечно малый элемент вектора площади Σ (t) (величина — это площадь бесконечно малого участка поверхности, направление вектора ортогонально этому участку поверхности).

Знак ЭДС определяется законом Ленца. Это справедливо не только для стационарного провода, но и для движущейся проволоки.

Из закона электромагнитной индукции Фарадея и уравнений Максвелла можно получить силу Лоренца. Верно и обратное: силу Лоренца и уравнения Максвелла можно использовать для вывода закона Фарадея.

Пусть Σ (t) — движущийся поступательно провод с постоянной скоростью v, а Σ (t) — внутренняя поверхность провода. ЭДС вокруг замкнутого пути ∂Σ (t) определяется выражением^[33]

${\displaystyle {\mathcal {E))=\oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell ))\cdot \mathbf {F} /q}$,

где

${\displaystyle \mathbf {E} =\mathbf {F} /q}$

— электрическое поле, а dℓ — бесконечно малый векторный элемент контура ∂Σ (t).

Направление dℓ, и dS неоднозначно. Чтобы получить правильный знак, используется правило правой руки, как описано в статье Теорема Кельвина — Стокса.

Приведённый выше результат можно сравнить с законом электромагнитной индукции Фарадея, который появляется в современных уравнениях Максвелла, называемый здесь уравнением Максвелла — Фарадея:

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t))\ .}$

Уравнение Максвелла — Фарадея можно записать в интегральной форме с помощью теоремы Кельвина — Стокса^[34].

Уравнение Максвелла — Фарадея принимает вид

${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell ))\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} ,\ t)=-\ \iint _{\Sigma (t)}\mathrm {d} \mathbf {S} \cdot ((\mathrm {d} \,\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\ t)} \over \mathrm {d} t))$,

а закон Фарадея

${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell ))\cdot \mathbf {F} /q(\mathbf {r} ,\ t)=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t))\iint _{\Sigma (t)}\mathrm {d} \mathbf {S} \cdot \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\ t).}$

Эти два выражения эквивалентны, если провод не движется. Используя интегральное правило Лейбница и div B = 0, можно получить,

${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell ))\cdot \mathbf {F} /q(\mathbf {r} ,t)=-\iint _{\Sigma (t)}\mathrm {d} \mathbf {S} \cdot {\frac {\partial }{\partial t))\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)+\oint _{\partial \Sigma (t)}\!\!\!\!\mathbf {v} \times \mathbf {B} \,\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell ))}$

и, используя уравнение Максвелла Фарадея,

${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell ))\cdot \mathbf {F} /q(\mathbf {r} ,\ t)=\oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell ))\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} ,\ t)+\oint _{\partial \Sigma (t)}\!\!\!\!\mathbf {v} \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\ t)\,\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell ))}$

поскольку это справедливо для любого положения провода, то

${\displaystyle \mathbf {F} =q\,\mathbf {E} (\mathbf {r} ,\ t)+q\,\mathbf {v} \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\ t).}$

Закон индукции Фарадея справедлив независимо от того, является ли проволочная петля жёсткой и неподвижной, либо она находится в движении, либо в процессе деформации, а также независимо от того, является ли магнитное поле постоянным во времени или изменяющимся. Однако бывают случаи, когда закон Фарадея либо неадекватен, либо его трудно использовать, и необходимо применять закон Лоренца.

Если магнитное поле не зависит от времени и проводящая петля движется через поле, магнитный поток Φ_B, проникающий в петлю, может изменяться несколькими способами. Например, если магнитное поле меняется в зависимости от положения, и петля перемещается в другое положение с другим значением B, — Φ_B изменится. В качестве альтернативы, если петля изменяет ориентацию по отношению к B, то дифференциальный элемент B ⋅ dS будет меняться из-за различного угла между B и dS, также изменится Ф_B. В качестве третьего примера, если часть электрической схемы проходит через однородное, не зависящее от времени магнитное поле, а другая часть схемы остаётся неподвижной, то магнитный поток, связывающий всю замкнутую цепь, может измениться из-за относительного смещения положения составных частей схемы с течением времени (поверхность ∂Σ (t), зависящая от времени). Во всех трёх случаях закон индукции Фарадея предсказывает появление ЭДС, порождённую изменением Φ_B.

Из уравнения Максвелла — Фарадея следует, что если магнитное поле B изменяется во времени, то электрическое поле E неконсервативно, и не может быть выражено как градиент скалярного поля, поскольку его ротор не равен нулю.^[35][36]

Сила Лоренца в терминах потенциалов

Поля E и B можно заменить векторным магнитным потенциалом A и (скалярным) электростатическим потенциалом ${\displaystyle \phi }$ посредством

${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t))}$

${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }$,

где ∇ — градиент, ∇⋅ — дивергенция, ∇ × — ротор.

Сила запишется в виде

${\displaystyle \mathbf {F} =q\left[-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t))+\mathbf {v} \times (\nabla \times \mathbf {A} )\right].}$

Используя тождество для тройного произведения, это выражение можно переписать как,

${\displaystyle \mathbf {F} =q\left[-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t))+\nabla \left(\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} \right)-\left(\mathbf {v} \cdot \nabla \right)\mathbf {A} \right],}$

Здесь координаты и компоненты скорости следует рассматривать как независимые переменные, поэтому оператор набла действует только на ${\displaystyle \mathbf {A} }$, а не на ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ; таким образом, нет необходимости использовать обозначение индексов Фейнмана в приведённом уравнении. Используя цепное правило, полная производная от ${\displaystyle \mathbf {A} }$ является:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t))={\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t))+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {A} }$

так что приведенное выше выражение принимает вид

${\displaystyle \mathbf {F} =q\left[-\nabla (\phi -\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} )-{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t))\right]}$ .

При v = ẋ уравнение можно переписать в удобной форме Эйлера — Лагранжа

${\displaystyle \mathbf {F} =q\left[-\nabla _{\mathbf {x} }(\phi -{\dot {\mathbf {x} ))\cdot \mathbf {A} )+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t))\nabla _{\dot {\mathbf {x} ))(\phi -{\dot {\mathbf {x} ))\cdot \mathbf {A} )\right]}$

где введены обозначения

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {x} }={\hat {x)){\dfrac {\partial }{\partial x))+{\hat {y)){\dfrac {\partial }{\partial y))+{\hat {z)){\dfrac {\partial }{\partial z))}$

и

${\displaystyle \nabla _{\dot {\mathbf {x} ))={\hat {x)){\dfrac {\partial }{\partial {\dot {x))))+{\hat {y)){\dfrac {\partial }{\partial {\dot {y))))+{\hat {z)){\dfrac {\partial }{\partial {\dot {z))))}$ .

Сила Лоренца и аналитическая механика

Лагранжиан для заряженной частицы с массой m и зарядом q в электромагнитном поле описывает динамику частицы с точки зрения её энергии, а не силы, действующей на неё. Классическое выражение задается следующим образом:^[37]

${\displaystyle L={\frac {m}{2))\mathbf {\dot {r)) \cdot \mathbf {\dot {r)) +q\mathbf {A} \cdot \mathbf {\dot {r)) -q\phi }$

где A и ${\displaystyle \phi }$ — потенциалы, как указано выше. Величину ${\displaystyle V=q(\phi -\mathbf {A} \cdot \mathbf {\dot {r)) )}$ можно рассматривать как потенциальную функцию, зависящую от скорости.^[38] Используя уравнения Лагранжа, можно снова получить уравнение для силы Лоренца, приведённое выше.

Вывод силы Лоренца из классического Лангранжана (единицы СИ)

В поле A, частица двигающаяся со скоростью v = ṙ обладает импульсом ${\displaystyle q\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)}$, тогда её потенциальная энергия равна ${\displaystyle q\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)\cdot \mathbf {\dot {r)) }$. В поле ϕ, потенциальная энергия частицы равна ${\displaystyle q\phi (\mathbf {r} ,t)}$. Полная потенциальная энергия записывается в виде ${\displaystyle V=q\phi -q\mathbf {A} \cdot \mathbf {\dot {r)) }$ и кинетическая энергия: ${\displaystyle T={\frac {m}{2))\mathbf {\dot {r)) \cdot \mathbf {\dot {r)) }$ Отсюда Лагранжан: ${\displaystyle L=T-V={\frac {m}{2))\mathbf {\dot {r)) \cdot \mathbf {\dot {r)) +q\mathbf {A} \cdot \mathbf {\dot {r)) -q\phi }$ ${\displaystyle L={\frac {m}{2))({\dot {x))^{2}+{\dot {y))^{2}+{\dot {z))^{2})+q({\dot {x))A_{x}+{\dot {y))A_{y}+{\dot {z))A_{z})-q\phi }$ Уравнения Лагранжа ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t)){\frac {\partial L}{\partial {\dot {x))))={\frac {\partial L}{\partial x))}$ (аналогично для y и z компонент). Вычисление частных производных приводит к ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t)){\frac {\partial L}{\partial {\dot {x))))&=m{\ddot {x))+q{\frac {\mathrm {d} A_{x)){\mathrm {d} t))\\&=m{\ddot {x))+{\frac {q}{\mathrm {d} t))\left({\frac {\partial A_{x)){\partial t))dt+{\frac {\partial A_{x)){\partial x))dx+{\frac {\partial A_{x)){\partial y))dy+{\frac {\partial A_{x)){\partial z))dz\right)\\&=m{\ddot {x))+q\left({\frac {\partial A_{x)){\partial t))+{\frac {\partial A_{x)){\partial x)){\dot {x))+{\frac {\partial A_{x)){\partial y)){\dot {y))+{\frac {\partial A_{x)){\partial z)){\dot {z))\right)\\\end{aligned))}$ ${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x))=-q{\frac {\partial \phi }{\partial x))+q\left({\frac {\partial A_{x)){\partial x)){\dot {x))+{\frac {\partial A_{y)){\partial x)){\dot {y))+{\frac {\partial A_{z)){\partial x)){\dot {z))\right)}$ уравнивая и упрощая выражение ${\displaystyle m{\ddot {x))+q\left({\frac {\partial A_{x)){\partial t))+{\frac {\partial A_{x)){\partial x)){\dot {x))+{\frac {\partial A_{x)){\partial y)){\dot {y))+{\frac {\partial A_{x)){\partial z)){\dot {z))\right)=-q{\frac {\partial \phi }{\partial x))+q\left({\frac {\partial A_{x)){\partial x)){\dot {x))+{\frac {\partial A_{y)){\partial x)){\dot {y))+{\frac {\partial A_{z)){\partial x)){\dot {z))\right)}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}F_{x}&=-q\left({\frac {\partial \phi }{\partial x))+{\frac {\partial A_{x)){\partial t))\right)+q\left[{\dot {y))\left({\frac {\partial A_{y)){\partial x))-{\frac {\partial A_{x)){\partial y))\right)+{\dot {z))\left({\frac {\partial A_{z)){\partial x))-{\frac {\partial A_{x)){\partial z))\right)\right]\\&=qE_{x}+q[{\dot {y))(\nabla \times \mathbf {A} )_{z}-{\dot {z))(\nabla \times \mathbf {A} )_{y}]\\&=qE_{x}+q[\mathbf {\dot {r)) \times (\nabla \times \mathbf {A} )]_{x}\\&=qE_{x}+q(\mathbf {\dot {r)) \times \mathbf {B} )_{x}\end{aligned))}$ и аналогично для y и z компонент. Уравнение для силы ${\displaystyle \mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {\dot {r)) \times \mathbf {B} )}$

Потенциальная энергия зависит от скорости частицы, поэтому сила зависит от скорости, и соответственно она не является консервативной.

Релятивистский лагранжиан

${\displaystyle L=-mc^{2}{\sqrt {1-\left({\frac {\dot {\mathbf {r} )){c))\right)^{2))}+q\mathbf {A} (\mathbf {r} )\cdot {\dot {\mathbf {r} ))-q\phi (\mathbf {r} )\,\!}$

Действие — это релятивистская длина пути частицы в пространстве-времени, за вычетом вклада потенциальной энергии, плюс дополнительный вклад, который квантово-механически является дополнительной фазой, которую получает заряженная частица, когда она движется вдоль векторного потенциала.

Вывод силы Лоренца для релятивистского Лагранжиана (единицы СИ)

Уравнения движения получающиеся из вариационного принципа для действия ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {P} }{\mathrm {d} t))={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} ))=q{\partial \mathbf {A} \over \partial \mathbf {r} }\cdot {\dot {\mathbf {r} ))-q{\partial \phi \over \partial \mathbf {r} }\,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {P} -q\mathbf {A} ={\frac {m{\dot {\mathbf {r} ))}{\sqrt {1-\left({\frac {\dot {\mathbf {r} )){c))\right)^{2))))\,}$ соответствуют уравнениям движения Гамильтона: ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t))={\frac {\partial }{\partial \mathbf {p} ))\left({\sqrt {(\mathbf {P} -q\mathbf {A} )^{2}+(mc^{2})^{2))}+q\phi \right)\,\!}$ ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t))=-{\partial \over \partial \mathbf {r} }\left({\sqrt {(\mathbf {P} -q\mathbf {A} )^{2}+(mc^{2})^{2))}+q\phi \right)\,\!}$ которые эквиваленты следующему выражению в неканонической форме ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t))\left({m{\dot {\mathbf {r} )) \over {\sqrt {1-\left({\frac {\dot {\mathbf {r} )){c))\right)^{2))))\right)=q\left(\mathbf {E} +{\dot {\mathbf {r} ))\times \mathbf {B} \right).\,\!}$ Это выражение описывает силу Лоренца, — скорость с которой электромагнитное поле передаёт релятивистский импульс частице.

Релятивистская форма силы Лоренца

Ковариантная форма силы Лоренца.

Тензор поля

Используя сигнатуру метрики (1, −1, −1, −1), сила Лоренца для заряда q может быть записана в^[39] ковариантной форме :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p^{\alpha )){\mathrm {d} \tau ))=qF^{\alpha \beta }U_{\beta ))$

где p ^α — четырёхмерный импульс, определяемый как

${\displaystyle p^{\alpha }=\left(p_{0},p_{1},p_{2},p_{3}\right)=\left(\gamma mc,p_{x},p_{y},p_{z}\right)\,,}$

τ собственное время частицы, F ^αβ — контравариантный тензор электромагнитного поля

${\displaystyle F^{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix))}$

и U — ковариантная 4-скорость частицы, определяемая как:

${\displaystyle U_{\beta }=\left(U_{0},U_{1},U_{2},U_{3}\right)=\gamma \left(c,-v_{x},-v_{y},-v_{z}\right)\,,}$

где Лоренц-фактор

${\displaystyle \gamma (v)={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2)){c^{2))))))={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2)){c^{2))))))}$

Поля преобразуются в систему, движущуюся относительно неподвижной системы с постоянной скоростью, с помощью:

${\displaystyle F'^{\mu \nu }={\Lambda ^{\mu ))_{\alpha }{\Lambda ^{\nu ))_{\beta }F^{\alpha \beta }\,,}$

где Λ ^μ _α — тензор преобразования Лоренца.

Перевод в векторные обозначения

Компонента α = 1 (x -компонента) силы равна

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p^{1)){\mathrm {d} \tau ))=qU_{\beta }F^{1\beta }=q\left(U_{0}F^{10}+U_{1}F^{11}+U_{2}F^{12}+U_{3}F^{13}\right).}$

Подставляя компоненты ковариантного тензора электромагнитного поля F, получаем

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p^{1)){\mathrm {d} \tau ))=q\left[U_{0}\left({\frac {E_{x)){c))\right)+U_{2}(-B_{z})+U_{3}(B_{y})\right].}$

Используя компоненты ковариантных четырёхскоростей

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} p^{1)){\mathrm {d} \tau ))&=q\gamma \left[c\left({\frac {E_{x)){c))\right)+(-v_{y})(-B_{z})+(-v_{z})(B_{y})\right]\\&=q\gamma \left(E_{x}+v_{y}B_{z}-v_{z}B_{y}\right)\\&=q\gamma \left[E_{x}+\left(\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)_{x}\right]\,.\end{aligned))}$

Расчет для α = 2, 3 (компоненты силы в направлениях y и z) приводит к аналогичным результатам, поэтому объединение 3 уравнений в одно:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} \tau ))=q\gamma \left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\,,}$

и поскольку дифференциалы по координатному времени dt и собственному времени dτ связаны между собой Лоренц-фактором,

${\displaystyle dt=\gamma (v)d\tau \,,}$

в итоге можно записать

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t))=q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\,.}$

Это в точности закон Лоренца, однако p — это релятивистское выражение,

${\displaystyle \mathbf {p} =\gamma (v)m_{0}\mathbf {v} \,.}$

Сила Лоренца в алгебре пространства-времени (STA)

^{[проверить перевод]} Электрическое и магнитное поля зависят от скорости наблюдателя, поэтому релятивистскую форму закона Лоренца лучше всего можно продемонстрировать, исходя из не зависящего от координат выражения для электромагнитного и магнитного полей. ${\displaystyle {\mathcal {F))}$, и произвольное направление времени, ${\displaystyle \gamma _{0))$. С помощью алгебры пространства-времени (или геометрической алгебры пространства-времени), типа алгебры Клиффорда, определённой в псевдоевклидовом пространстве^[40] запишутся

${\displaystyle \mathbf {E} =({\mathcal {F))\cdot \gamma _{0})\gamma _{0))$

и

${\displaystyle i\mathbf {B} =({\mathcal {F))\wedge \gamma _{0})\gamma _{0))$

${\displaystyle {\mathcal {F))}$ представляет собой бивектор пространства-времени (ориентированный плоский сегмент, по аналогии с вектором, который является ориентированным линейным сегментом), который имеет шесть степеней свободы, соответствующих бустам (вращения в плоскостях пространства-времени) и вращениям (вращениям в плоскостях пространства-пространства). Скалярное произведение с вектором ${\displaystyle \gamma _{0))$ вытягивает вектор (в пространственной алгебре) из трансляционной части, в то время как внешнее произведение создаёт тривектор (в пространственной алгебре), который двойственен вектору, который является обычным вектором магнитного поля. Релятивистская скорость задаётся (времениподобными) изменениями вектора времени-координаты ${\displaystyle v={\dot {x))}$, где

${\displaystyle v^{2}=1,}$

(что показывает наш выбор метрики), а скорость равна

${\displaystyle \mathbf {v} =cv\wedge \gamma _{0}/(v\cdot \gamma _{0}).}$

Правильная (инвариант — неадекватный термин, потому что никакое преобразование не было определено) форма закона Лоренца

${\displaystyle F=q{\mathcal {F))\cdot v}$

Здесь порядок важен, потому что между бивектором и вектором скалярное произведение антисимметрично. При таком расщеплении пространства-времени можно получить скорость и поля, как указано выше, что дает обычное выражение.

Сила Лоренца в общей теории относительности

В общей теории относительности уравнение движения частицы с массой ${\displaystyle m}$ и зарядом ${\displaystyle e}$, двигающейся в пространстве с метрическим тензором ${\displaystyle g_{ab))$ и электромагнитном поле ${\displaystyle F_{ab))$, задаётся как

${\displaystyle m{\frac {du_{c)){ds))-m{\frac {1}{2))g_{ab,c}u^{a}u^{b}=eF_{cb}u^{b}\;,}$

где ${\displaystyle u^{a}=dx^{a}/ds}$ (${\displaystyle dx^{a))$ берется вдоль траектории), ${\displaystyle g_{ab,c}=\partial g_{ab}/\partial x^{c))$, и ${\displaystyle ds^{2}=g_{ab}dx^{a}dx^{b))$ .

Уравнение также можно записать как

${\displaystyle m{\frac {du_{c)){ds))-m\Gamma _{abc}u^{a}u^{b}=eF_{cb}u^{b}\;,}$

куда ${\displaystyle \Gamma _{abc))$ — символы Кристоффеля (метрическая связность без кручения в общей теории относительности), или как

${\displaystyle m{\frac {Du_{c)){ds))=eF_{cb}u^{b}\;,}$

куда ${\displaystyle D}$ — ковариантный дифференциал в общей теории относительности (метрический, без кручения).

Приложения

Сила Лоренца присутствует во многих устройствах, в том числе:

• Основным применением силы Лоренца (точнее, её частного случая — силы Ампера) являются электрические машины (электродвигатели и генераторы). Сила Лоренца широко используется в электронных приборах для воздействия на заряженные частицы (электроны и иногда ионы), например в телевизионных электронно-лучевых трубках, а также в масс-спектрометрии и МГД-генераторах.
• Сила Лоренца также используется в ускорителях заряженных частиц: она задаёт орбиту, по которой движутся эти частицы.
• Сила Лоренца используется в рельсотроне.
• Велосиметрия силой Лоренца заключается в бесконтактном измерении скорости движения проводящей жидкости.
• Циклотроны и другие ускорители частиц с круговым движением
• Масс-спектрометры
• Фильтры скорости
• Магнетроны

См. также

• Радиационное трение

Примечания

Литература

• Feynman, Richard Phillips. The Feynman lectures on physics (3 vol.) / Richard Phillips Feynman, Robert B. Leighton, Matthew L. Sands. — Pearson / Addison-Wesley, 2006. — ISBN 0-8053-9047-2.: volume 2.
• Griffiths, David J. Introduction to electrodynamics. — Prentice-Hall, 1999. — ISBN 0-13-805326-X.
• Jackson, John David. Classical electrodynamics. — Wiley, 1999. — ISBN 0-471-30932-X.
• Serway, Raymond A. Physics for scientists and engineers, with modern physics / Raymond A. Serway, John W., Jr. Jewett. — Thomson Brooks/Cole, 2004. — ISBN 0-534-40846-X.
• Srednicki, Mark A. Quantum field theory. — Cambridge University Press, 2007. — ISBN 978-0-521-86449-7.

Ссылки

• Определение направления силы Лоренца. Правило правого винта на YouTube