Закон (уравнение) Бернулли является следствием закона сохранения энергии для стационарного потока идеальной (то есть без внутреннего трения) несжимаемой жидкости:

\tfrac{\rho v^2}{2} + \rho g h + p = \mathrm{const}

Здесь

~\rho — плотность жидкости,
~v — скорость потока,
~h — высота, на которой находится рассматриваемый элемент жидкости,
~p — давление в точке пространства, где расположен центр массы рассматриваемого элемента жидкости,
~g — ускорение свободного падения.

В научной литературе закон Бернулли, как правило, называется уравнением Бернулли[1](не следует путать с дифференциальным уравнением Бернулли), теоремой Бернулли[2][3] или интегралом Бернулли[4][5].

Константа в правой части часто называется полным давлением и зависит, в общем случае, от линии тока.

Размерность всех слагаемых — единица энергии, приходящаяся на единицу объёма жидкости. Первое и второе слагаемое в интеграле Бернулли имеют смысл кинетической и потенциальной энергии, приходящейся на единицу объёма жидкости. Следует обратить внимание на то, что третье слагаемое по своему происхождению является работой сил давления (см. приводимый в приложении вывод уравнения Бернулли) и не представляет собой запаса какого-либо специального вида энергии («энергии давления»[6]).

Соотношение, близкое[7] к приведенному выше, было получено в 1738 г. Даниилом Бернулли, с именем которого обычно связывают интеграл Бернулли. В современном виде интеграл был получен Иоганном Бернулли около 1740 года.

Для горизонтальной трубы высота h постоянна и уравнение Бернулли принимает вид:   \tfrac{\rho v^2}{2}+p=\mathrm{const}.

Эта форма уравнения Бернулли может быть получена путём интегрирования уравнения Эйлера для стационарного одномерного потока жидкости, при постоянной плотности \rho:   v\tfrac{dv}{dx}=-\tfrac {1}{\rho}\cdot \tfrac {dp}{dx}.

Согласно закону Бернулли, полное давление в установившемся потоке жидкости остается постоянным вдоль этого потока.

Полное давление состоит из весового (\rho g h), статического (p) и динамического \left(\tfrac{\rho v^2}{2}\right) давлений.

Из закона Бернулли следует, что при уменьшении сечения потока, из-за возрастания скорости, то есть динамического давления, статическое давление падает. Это является основной причиной эффекта Магнуса. Закон Бернулли справедлив и для ламинарных потоков газа. Явление понижения давления при увеличении скорости потока лежит в основе работы различного рода расходомеров (например труба Вентури), водо- и пароструйных насосов. А последовательное применение закона Бернулли привело к появлению технической гидромеханической дисциплины — гидравлики.

Закон Бернулли справедлив в чистом виде только для жидкостей, вязкость которых равна нулю. Для приближённого описания течений реальных жидкостей в технической гидромеханике (гидравлике) используют интеграл Бернулли с добавлением слагаемых, учитывающих потери на местных и распределенных сопротивлениях.

Известны обобщения интеграла Бернулли для некоторых классов течений вязкой жидкости (например, для плоскопараллельных течений[8]), в магнитной гидродинамике[9], феррогидродинамике[10].

Одно из применений

Закон Бернулли можно применить к истечению идеальной несжимаемой жидкости через малое отверстие в боковой стенке или дне широкого сосуда.

Закон Бернулли позволяет объяснить эффект Вентури: в узкой части трубы скорость течения жидкости выше, а давление меньше, чем на участке трубы большего диаметра, в результате чего наблюдается разница высот столбов жидкости ; бо́льшая часть этого перепада давлений обусловлена изменением скорости течения жидкости, и может быть вычислена по уравнению Бернулли
Закон Бернулли позволяет объяснить эффект Вентури: в узкой части трубы скорость течения жидкости выше, а давление меньше, чем на участке трубы большего диаметра, в результате чего наблюдается разница высот столбов жидкости \Delta h; бо́льшая часть этого перепада давлений обусловлена изменением скорости течения жидкости, и может быть вычислена по уравнению Бернулли

Согласно закону Бернулли приравняем полные давления на верхней поверхности жидкости и на выходе из отверстия:

\rho g h + p_0 = \frac{\rho v^2}{2} + p_0,

где

p_0 — атмосферное давление,
h — высота столба жидкости в сосуде,
v — скорость истечения жидкости,
z\, +\, \frac{p}{\rho g} — гидростатический напор (сумма геометрического напора z и пьезометрической высоты  \frac{p}{\rho g}).

Отсюда: v = \sqrt{2gh}. Это — формула Торричелли. Она показывает, что при истечении идеальной несжимаемой жидкости из отверстия в широком сосуде жидкость приобретает скорость, какую получило бы тело, свободно падающее с высоты h.

Часто уравнение Бернулли записывается в виде:

Hd\, =\, z\, +\, \frac{p}{\rho g}\, +\, \frac{v^2}{2\,g}=\, \text{const}\,

где

Hd\, — гидродинамический напор,
 \frac{v^2}{2\,g} — скоростной напор.

Для сжимаемого идеального газа

\frac {v^2}{2}+ gh+\left(\frac {\gamma}{\gamma-1}\right)\frac {p}{\rho}   = \mathrm{const}[11] (постоянна вдоль линии тока или линии вихря)

где

\gamma = \frac{C_p}{C_V} — Адиабатическая постоянная газа
p — давление газа в точке
\rho — плотность газа в точке
v — скорость течения газа
g — ускорение свободного падения
h — высота относительно начала координат

При движении в неоднородном поле gh заменяется на потенциал гравитационного поля.

Термодинамика закона Бернулли

Из статистической физики следует, что на линиях тока при адиабатическом течении остается постоянным следующее соотношение:

  \frac{v^2}{2} + w + \varphi = \mathrm{const}

где  w  — энтальпия единицы массы,  \varphi — потенциал силы.

Практические следствия

Приложение

См. также

Литература

Примечания

  1. Титьенс О., Прандтль Л. Гидро- и аэромеханика. — М.-Л.: ГТТИ, 1933. — Т. 1. — 224 с.
  2. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. — М.: Дрофа, 2003. — 842 с. — ISBN 5-7107-6327-6
  3. Милн-Томсон Л.М. Теоретическая гидродинамика. — М.: Мир, 1964. — 656 с.
  4. Седов Л.И. Механика сплошной среды. — М.: Наука, 1970. — Т. 2. — 568 с.
  5. Чёрный Г.Г. Газовая динамика. — М.: Наука, 1988. — 424 с. — ISBN 5-02-013814-2
  6. Чугаев Р.Р. Гидравлика. — Л.: Энергия, 1975. — 600 с.
  7. В частности, в записи Д.Бернулли в явном виде не фигурировало давление, см. Трусделл К. Очерки по истории механики. — М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. — 316 с. — ISBN 5-93972-192-3
  8. Голубкин В.Н., Сизых Г.Б. О некоторых общих свойствах плоскопараллельных течений вязкой жидкости // Изв. АН СССР. МЖГ. — 1987. — № 3. — С. 176–178. — DOI:10.1007/BF01051932
  9. Куликовский А.Г., Любимов Г.А. Магнитная гидродинамика. — М.: Физматлит, 1962. — С. 54. — 248 с.
  10. Розенцвейг Р. Феррогидродинамика / Пер. с англ. под ред. В.В.Гогосова. — М.: Мир, 1989. — С. 136. — 359 с. — ISBN 5-03-000997-3
  11. Clancy, L.J., Aerodynamics, Section 3.11
  12. Валерий Панкрашин. Камни для „Сапсана“, или „месть бедных“. Би-Би-Си (26 марта 2010). Архивировано из первоисточника 5 февраля 2012.
  13. «Отчего притягиваются корабли?» / Я. И. Перельман.