Скаля́рное произведе́ние (иногда внутреннее произведение) — операция над двумя векторами, результатом которой является число (скаляр), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними. Данной операции соответствует умножение длины вектора x на проекцию вектора y на вектор x. Эта операция обычно рассматривается как коммутативная и линейная по каждому сомножителю.

Обычно используется одно из следующих обозначений:

\langle \mathbf a, \mathbf b \rangle,
 (\mathbf a, \mathbf b)  ,
 \mathbf a \cdot \mathbf b ,

или (обозначение Дирака, часто применяемое в квантовой механике для векторов состояния):

\langle a|b\rangle.

Обычно предполагается, что скалярное произведение положительно определено, то есть

 \langle \mathbf a, \mathbf a \rangle > 0 для всех a\not=0.

Если этого не предполагать, то произведение называется индефинитным (неопределенным).

Определение

Скалярным произведением в векторном пространстве \mathbb L над полем \mathbb C комплексных (или \mathbb R вещественных) чисел называется функция \langle x, y \rangle для элементов x, y \in \mathbb L, принимающая значения в  \mathbb C (или \mathbb R), определенная для каждой пары элементов и удовлетворяющая следующим условиям:

  1. для любых трех элементов  ~x_1, x_2 и  ~y пространства  \mathbb L и любых чисел  ~\alpha , \beta из  \mathbb C (или \mathbb R) справедливо равенство  \langle \alpha x_1+\beta x_2,y \rangle = \alpha \langle x_1,y \rangle + \beta \langle x_2,y \rangle (линейность скалярного произведения по первому аргументу);
  2. для любых  ~x и  ~y справедливо равенство  \langle y,x \rangle = \overline{\langle x,y \rangle}, где черта означает комплексное сопряжение (эрмитова симметричность);
  3. для любого  ~x имеем \langle x,x \rangle \ge 0 , причем \langle x,x \rangle =0 только при  ~x=0 (положительная определенность скалярного произведения).

Заметим, что из п.2 определения следует, что  \langle x,x \rangle \in \mathbb R. Поэтому п.3 имеет смысл, несмотря на комплексные (в общем случае) значения скалярного произведения.

Геометрическое определение

A • B = |A| |B| cos(θ)
AB = |A| |B| cos(θ)

Если определения длины вектора и угла между векторами введены независимым образом до введения понятия скалярного произведения (как правило, так и поступают при изложении классической геометрии), то скалярное произведение определяется через длины сомножителей и угол между ними:

 \langle\mathbf a, \mathbf b\rangle = 
|\mathbf a| \cdot |\mathbf b| \cdot \cos \angle{(\mathbf a,\mathbf b)}

Современная аксиоматика обычно строится начиная со скалярного произведения, и тогда длина вектора и угол определяются уже через скалярное произведение (см. ниже).

Связанные определения

В современном аксиоматическом подходе уже на основе понятия скалярного произведения векторов вводятся следующие производные понятия:

Примеры

при разложении векторов по которому:
\mathbf a = a_1 \mathbf e_1 + a_2 \mathbf e_2 + \dots + a_n \mathbf e_n,
\mathbf b = b_1 \mathbf e_1 + b_2 \mathbf e_2 + \dots + b_n \mathbf e_n итд,
скалярное произведение будет выражаться формулой:
\langle\mathbf a, \mathbf b\rangle=\mathbf a^T \mathbf b = a_1 b_1+a_2 b_2+\dots+a_n b_n.
 \langle f, g \rangle = \int\limits_\Omega f(x) g(x) d\Omega
 \langle\mathbf a, \mathbf b\rangle = \sum g_{ij}a^i b^j
при этом сама метрика (говоря точнее, ее представление в данном базисе) так связана со скалярными произведениями базисных векторов  f_i\ :
 g_{ij} = \langle\mathbf f_i, \mathbf f_j\rangle
 \langle f, g \rangle = \int\limits_{(\Omega_1 \times \Omega_2)} K(x_1,x_2) f(x_1) g(x_2) d(\Omega_1 \times \Omega_2)
 \langle f, g \rangle = \int\limits_\Omega K(x) f(x) g(x) d\Omega
где К — положительно определённая, в первом случае симметричная относительно перестановки аргументов (при комплексных x — эрмитова) функция (если нужно иметь обычное симметричное положительно определённое скалярное произведение).

Свойства

\mathbf a\bot \mathbf b \Leftrightarrow \langle\mathbf a,\mathbf b\rangle = 0
 \sqrt{\langle\mathbf{a}, \mathbf{a}\rangle\langle\mathbf{b},\mathbf{b}\rangle - \langle\mathbf{a}, \mathbf{b}\rangle^2}\

Неравенство Коши — Буняковского

Для любых элементов  \mathbf x и  \mathbf y линейного пространства со скалярным произведением выполняется неравенство [1]

  \vert \langle x,y \rangle \vert ^2 \le \langle x,x \rangle \langle y,y \rangle

История

Скалярное произведение было введено У. Гамильтоном в 1846 году[3] одновременно с векторным произведением в связи с кватернионами — соответственно, как скалярная и векторная часть произведения двух кватернионов, скалярная часть которых равна нулю[4].

Вариации и обобщения

Простейшим обобщением конечномерного скалярного произведения в тензорной алгебре является свёртка по повторяющимся индексам. Аналогичное обобщение в принципе нетрудно сделать и в бесконечномерном случае (Для бесконечномерных пространств функций — см. примеры (выше)).

См. также

Примечания

  1. Ортонормированность базиса определяется условием
    \langle \mathbf e_i, \mathbf e_j \rangle= \delta_{ij} = \begin{cases} 1, & i = j \\ 0, & i \ne j, \end{cases}
    заключающемся в равенстве нулю скалярных произведений разных базисных векторов, например, первого и второго, первого и третьего, итд (ортогональность), и равенстве единице — скалярного произведения каждого базисного вектора с самим собой (нормированность). Упоминаемые в основном тексте формулы получаются прямым перемножением векторов, разложенных по такому базису, учитывая свойства скалярного произведения, особенно его билинейность, позволяющую раскрывать скобки итп как при вычислениях с обычными числами.
  2. В абстрактной формулировке названное условие \vec a\bot \vec b — это всего лишь определение ортогональности. Аналогично, две формулы выше в абстрактной формулировке также являются просто определениями соответствующих понятий через скалярное произведение, но они все могут с успехом быть использованы в конкретных вычислениях, например, в элементарной геометрии, независимо от того, какая система определений используется, современная абстрактная или традиционная элементарная.
  3. Crowe M. J. A History of Vector Analysis – The Evolution of the Idea of a Vectorial System. — Courier Dover Publications, 1994. — С. 32. — 270 с. — ISBN 0486679101
  4. Hamilton W. R. On Quaternions; or on a New System of Imaginaries in Algebra // Philosophical Magazine. 3rd Series. — London, 1846. — Т. 29. — С. 30.