4-вектор (четы́ре-ве́ктор, четырёхве́ктор) — вектор в четырёхмерном пространстве Минковского. Координаты 4-вектора при переносе или повороте системы отсчёта преобразуются как соответствующие им координаты в пространстве Минковского. В 4-векторе одна временная компонента и три пространственных. Пространственные компоненты составляют обычный пространственный трёхмерный вектор и преобразуются в соответствии с этим при преобразовании пространственных координат, не затрагивающих временной, то есть при преобразованиях координат, не включающих физического движения новой системы отсчёта относительно прежней.

Примеры 4-векторов

Здесь и далее используется сигнатура (+,~-,~-,~-).

Свойства

~ \tilde A^i=\sum_j S_j^i\ A^j ,

где S_j^i — матрица из группы Лоренца — матрица перехода к новым координатам (к новой системе отсчёта).

Обозначения

Традиционно используется обозначение 4-вектора как совокупности его компонент. Так 4-вектор a обозначается как: a^i (не нужно путать это обозначение с возведением в степень!) или a_i.

Координаты, 3 пространственные и временную, обычно обозначают как x^i.

Что означает при этом использование верхнего (a^i) или нижнего (a_i) индекса, оговаривается особо, но по умолчанию, если используется тот и другой (или хотя бы первый) вариант, то есть, если верхние индексы вообще используют, верхним индексом обозначают контравариантные координаты 4-вектора, а нижним — ковариантные координаты. Таким образом, в этом случае один и тот же вектор может иметь два разных представления — контравариантное и ковариантное.

В случае плоского пространства и инерциальных систем отсчета, как в электродинамике, специальной теории относительности и вообще в случаях, когда гравитацией можно пренебречь, ковариантное и контравариантное представление отличаются лишь знаком временно́й (или наоборот, в зависимости от условно принятой сигнатуры — пространственных) компоненты. При этом скалярное произведение представимо как простая сумма произведений соответствующих компонент только для произведения ковариантного вектора с контравариантным, например:

(a,b) = a^i b_i \equiv \sum_i a^i b_i = a^1 b_1 + a^2 b_2 + a^3 b_3 + a^4 b_4 = a_1 b_1 - a_2 b_2 - a_3 b_3 - a_4 b_4

и в частности

(a)^2 = (a,a) = a^i a_i \equiv \sum_i a^i a_i = a^1 a_1 + a^2 a_2 + a^3 a_3 + a^4 a_4 = (a_1)^2 - (a_2)^2 - (a_3)^2 - (a_4)^2

(здесь и ниже использовано правило суммирования по повторяющемуся индексу Эйнштейна, а возведение в квадрат обозначено как (…)²).

Если же хотят написать скалярное произведение с использованием только ковариантных или только контравариантных компонент, обычно используют запись с метрикой Лоренца \eta_{ij} (или \eta^{ij}):

(a,b) = \eta_{ij} a^i b^j \equiv \sum_{i,j} \eta_{ij} a^i b^i = a^1 b^1 - a^2 b^2 - a^3 b^3 - a^4 b^4

или

(a,b) = \eta^{ij} a_i b_j \equiv \sum_{i,j} \eta^{ij} a_i b_i = a_1 b_1 - a_2 b_2 - a_3 b_3 - a_4 b_4

(оба способа эквивалентны друг другу и описанному выше способу со обоими типами координат).

Однако в более общем случае нелоренцевых систем отсчета, в том числе при учете гравитации в соответствии с ОТО, вместо очень простой и постоянной лоренцевой метрики \eta_{ij} приходится рассматривать произвольную, в том числе зависящую от пространственных координат и времени метрику g_{ij}. (Во всех формулах, написанных в этом параграфе выше надо в общем случае заменить \eta_{ij} на g_{ij}, а \eta^{ij} на g^{ij}). При этом простое правило о том, что ковариантное и контравариантное представление 4-вектора различаются лишь знаком пространственных компонент, перестает действовать, они начинают выражаться друг через друга с использованием также метрики g_{ij} общего вида (см. Метрический тензор#Изоморфизм между касательным и кокасательным пространством):

a^i = g^{ij} a_j \equiv \sum_j g^{ij} a_j,
a_i = g_{ij} a^j \equiv \sum_j g_{ij} a^j.

(Как видим, эти формулы были верны и для \eta_{ij}, но в том случае сводились к простому правилу перемены знака некоторых компонент, а здесь — в общем случае — уже не сводятся).

Заметим также, что в пространстве-времени с кривизной (которое уже правильно считать только многообразием, а не векторным пространством), совокупность координат x^i уже не является вектором. Однако бесконечно малые смещения по координатам dx^i представляют вектор (вектор x^i).

И наконец, в случае лоренцевой метрики, рассмотренном выше, нередко используют только нижние индексы, так как ковариантные и контравариантные компоненты различаются только знаком, и можно ограничиваться упоминанием только одних из них (обычно — контравариантных, хотя и используя нижний индекс). Этот способ для этого случая сравнительно удобен, так как отсутствие верхних индексов несколько более привычно для неспециалистов, к тому же не может создать путаницы с обозначением возведения в степень. Однако и он имеет подводные камни, так как, например, вектор 4-градиента, записанный в контравариантном виде, довольно неожиданно имеет знак минус у пространственных компонент: (\partial_0, -\partial_1, -\partial_2, -\partial_3), так как полный дифференциал df = \partial_0 f dx^0 + \partial_1 f dx^1 + \partial_2 f dx^2 + \partial_3 f dx^3 — должен быть инвариантным, а в формулу скалярного произведения, если оба вектора представлены в одинаковой контравариантной форме, входит, как мы знаем, изменение знака из-за \eta_{ij}.

Интересно, что способ с использованием только нижних индексов и мнимой временно́й компоненты лишен этих недостатков (главным образом в области применимости, ограниченной случаем плоского пространства, но не только). Дело в том, что при использовании этого способа нужные знаки получаются автоматически (внимание: с учетом сигнатуры; впрочем, выбор сигнатуры — всё равно дело договоренности). То есть, о знаках вообще не нужно думать, не нужно использовать явно матрицу метрического тензора, даже \eta_{ij}, то есть метрика формально представлена единичной матрицей («формально евклидовская», что, конечно, не меняет её реально псевдоевклидова характера, но упрощает запись), а представление всех 4-векторов просто и единообразно:

и т. д., где i — мнимая единица.

4-вектор в математике

Точка в пространстве Минковского называется событием и задаётся четырьмя координатами:

\mathbf{x} := \left(ct, x, y, z \right),

где c — скорость света, t — время события, а x, y, z — его пространственные координаты. Такой 4-вектор называется 4-радиус-вектором.

Многие другие 4-векторы могут быть построены из него и далее друг из друга сложением, вычитанием, умножением или делением на скаляр, а также дифференцированием по скаляру и т. п. Так из 4-радиус-вектора дифференцированием по собственному времени получается 4-скорость, и т. д.

Скалярные произведения 4-векторов — лоренц-инвариантные величины (инварианты группы Лоренца), скаляры пространства Минковского.

История

4-векторы впервые рассмотрели Пуанкаре (1905) и затем Минковский. Они рассматривали временную компоненту 4-вектора чисто мнимой, что автоматически порождало нужное правило вычисления скалярного произведения при обычном суммировании произведений компонент. Термин «4-вектор» был предложен Арнольдом Зоммерфельдом в 1910 году.

Литература