Un nombre de Fermat, anomenat així en honor de Pierre de Fermat, qui fou el primer a estudiar aquest nombres, és un nombre natural de la forma:
on n és natural. Els nombres primers de Fermat són nombres de Fermat que a la vegada són primers.
Pierre de Fermat va conjecturar que tots els nombres naturals de la forma
amb n natural eren nombres primers (els cinc primers termes, 3 (n=0), 5 (n=1), 17 (n=2), 257 (n=3) i 65537 (n=4) ho són), però l'any 1732 Leonhard Euler va provar que no era així. En efecte, si es pren n=5 s'obté un nombre compost:
Actualment, només es coneixen cinc nombres primers de Fermat, que són els que ja es coneixien en temps del mateix Fermat, i actualment només es coneix la factorització completa dels dotze primers nombres de Fermat (des de n=0 fins a n=11).
Aquestes són algunes de les conjectures que existeixen avui dia sobre aquests nombres:
Els nou primers nombres de Fermat són (successió A000215 a l'OEIS):
F0 | = | 2¹ | + | 1 | = | 3 | |
F1 | = | 2² | + | 1 | = | 5 | |
F₂ | = | 24 | + | 1 | = | 17 | |
F₃ | = | 28 | + | 1 | = | 257 | |
F₄ | = | 2¹⁶ | + | 1 | = | 65,537 | |
F₅ | = | 2³² | + | 1 | = | 4,294,967,297 | |
= | 641 × 6,700,417 | ||||||
F₆ | = | 264 | + | 1 | = | 18,446,744,073,709,551,617 | |
= | 274,177 × 67,280,421,310,721 | ||||||
F₇ | = | 2128 | + | 1 | = | 340,282,366,920,938,463,463,374,607,431,768,211,457 | |
= | 59,649,589,127,497,217 × 5,704,689,200,685,129,054,721 | ||||||
F₈ | = | 2256 | + | 1 | = | 115,792,089,237,316,195,423,570,985,008,687,907,853,269,984,665,640,564,039,457,584,007,913,129,639,937 | |
= | 1,238,926,361,552,897 × 93,461,639,715,357,977,769,163,558,199,606,896,584,051,237,541,638,188,580,280,321 |