U tiurema di Pitagora (o Teurema di Pitagora) hè un tiurema di a giumitria euclidea chì stabilisci una rilazioni fundamintali trà i lati d'un triangulu rittangulu è com'è pò essa cunsidaratu dinò una virsioni limitata ad eddi di u Tiurema di Carnot.
Ciò ch'è à l'ebbica muderna hè cunnisciutu com'è tiurema di Pitagora hè di solitu attribuitu di a filosofu è matematicu Pitagora. In rialità u so enunciatu (ma micca a so dimustrazioni) era ghjà cunnisciutu[1] da i babilunesi, è era cunnisciutu ancu in China è sicuramenti in India com'eddi a dimostrani molti scritti frà i quali u Yuktibhasa. A dimustrazioni di u tiurema hè inveci incù ogni prubabilità ultiriori à Pitagora.
oppuri: In ogni triangulu rittangulu l' aria di u quatratu custruitu nantu à l'iputenusa hè sempri uguali à a somma di l' arii di i quatrati custruiti annantu à i cateti.
Datu un triangulu rittangulu di lati a, b è c, è imprudendu c par disignà a so iputenusa è a è b par i so cateti, u tiurema hè espressu da l'equazioni:
o, di manera altirnativa, risulvendu lu par c:
Da induva si ricavani i cateti rispettivi :
è
S'è a terna hè custituita da numari intieri tandu si chjama terna pitagorica.
Invirsamenti, ogni triangulu in u quali i trè lati virificheghjani sta prubità hè rittangulu: stu tiurema, incù a so dimustrazioni, apparisci in l'ultimu enunciatu di l'Elementi.
A dimustrazioni classica di u tiurema di Pitagora cumpletta u prima libru di l' Elementi di Euclide, è ni custituisci u filu cunduttori. Essendu datu ch'eddu richiedi u postulatu di i paralleli, ùn vali micca in i giumitrii non-euclidei è in a giumitria neutrali. In u testu d'Euclide a dimustrazioni di u tiurema hè immediatamenti priciduta da a dimustrazioni di a custruibilità di i quatrati. L'esistenza stessa di i quatrati dipendi infatti da u postulatu di i paralleli è sparisci in i giumitrii non euclidei. St'aspettu di u prublemu hè in generali trascuratu in a didattica cuntimpuranea, chì tendi spessu à assuma com'è evidenti l'esistenza di i quatrati.
A dimustrazioni di u tiurema di Pitagora cunsisti in u fattu di riempia un stessu quatratu di latu uguali à a somma di i cateti prima incù quattru copii di u triangulu rittangulu più u quatratu custruitu nantu à l'iputenusa è dopu incù quattru copii di u triangulu rittangulu più i quatrati custruiti annantu à i cateti, com'è annantu à a figura.
Essendu u tiurema un di i più noti di a storia di a matematica, ni esistini multissimi dimustrazioni, in tutali parechji cintunara, opara di matematichi, astronumi, agenti di cambiu, par asempiu un prisidenti americanu James A. Garfield è Liunardu da Vinci. Par stu tiurema sò stati classificati da u scentificu americanu Elisha Scott Loomis 371 diffarenti dimustrazioni, chì sò stati publicati in u 1927 in u so libru The Pythagorean Proposition.
A dimustrazioni attribuita à u matematicu è astronumu persianu Abu'l-Wafa versu a fini di u X seculu d.C.[2][3] è riscuparta da l'agenti di cambiu Henry Perigal (truvata in u 1835-1840[4], publicata in 1872 è dopu in 1891[5]) si basa nantu à a scumpusizioni di u quatratu custruitu nantu à u catetu maiò, in giaddu annantu à l'imaghjini: tagliendu lu infatti incù dui retti passanti par u so centru, una parpindiculari è una parallela à l'iputenusa, si pò ricumpona di manera à incurpurà l'altru quatratu, è furmendu u quatratu nantu à l'iputenusa, com'è in a figura. Stu prucidimentu hè liatu à u prublemu di a trisezioni di u quatratu.
Esisti ancu una dimustrazioni in forma puetica, di l'astronumu Sir George Airy, in inglesu:
di a quali una traduzioni littarali hè
I versi si rifiriscini à a parti bianca: i primi dui trianguli sò quiddi rossi, i sicondi quiddi turchinu.
Tantu a dimustrazioni di Perigal ch'è quist'ultima sò intarissanti, chì sò sputicamenti giumetrichi, veni à dì ùn richiedini alcuna difinizioni d'uparazioni aritmetichi, ma solu cungruenzi d'arii è di sigmenti.
Dimustrazioni giumetrica basata annantu à dui quatrati cuncentrichi, di lati rispittivamenti pari à l'iputenusa (c) è à a somma di i dui cateti (a+b).
Com'eddu si vedi annantu à a figura, tolti i 4 trianguli rittanguli (in giaddu d'aria ) à u quatratu più grandi, chì currispondi à l'aria , s'otteni u quatratu più chjucu, rapprisintatu in biancu, chì equivali inveci à l'aria .
Dunqua
d'induva risulvendu s'otteni :
Sta dimustrazioni hà l'avantaghju d'avè una ripprisintazioni visuali simplicia è diretta, chì ùn richiedi micca u spustamentu è soprappusizioni di formi com'è l'altri dimustrazioni giumetrichi chì sò stati furmulati.
Un'antra dimustrazioni giumetrica particularamenti significativa, chì in a so custruzzioni ùn cumparisci alcun' quatratu, fù truvata in u 1876 da Garfield, chì in seguitu divintò u vintesimu Prisidenti di i Stati Uniti d'America. Tandu in l'armata, Garfield cummintò u so risultatu: "Quissa hè calcosa annantu à a quali i dui rami di u parlamentu pudarani essa d'accordu".
A dimustrazioni hè a siguenti:
In formuli, dittu a u catetu rossu, b u turchinu è c l'iputenusa, è ricurdendu a putenza di u binomiu
Una (apparenti) dimustrazioni sputicamenti algebrica faci usu di i numari cumplessi è di a formula d'Euleru: siini a, b i cateti è c l'iputenusa. S'è i cateti sò alliniati annantu à l'assi, t'avemu
Cunsidarendu tandu u cumplessu cunghjucatu di :
Multiplichendu trà eddi si otteni
In rialità si tratta sola d'una dimustrazioni apparenti, appostu ch'è u risultatu hè suppostu implicitamenti in l'usu di l'idantità .
S'è infatti si sustituisci à l'espuninziali imaginariu a so difinizioni, l'idantità si rivela essa: , veni à dì
è l'ultima idantità bedda cunnisciuta ùn hè altru ch'è una pussibuli furmulazioni di l'enunciatu di u tiurema di Pitagora.
(S'è inveci l'espuninziali imaginariu hè difinitu à traversu a somma di a so seria di Taylor, tandu u prublemu diventa quiddu di dimustrà a rilazioni , induva a, b è c sò i misuri di i cateti è l'iputenusa d'un triangulu rittangulu: prublemu chì a so suluzioni ùn hè micca più simplicia ch'è i dimustrazioni pricidenti di u tiurema di Pitagora).
Un'antra dimustrazioni improda u prima tiurema di Euclide. Si traccia l'altezza nantu à l'iputenusa, di lunghezza . Quidda spezza l'iputenusa in dui sigmenti, di lunghezza è . U tiurema di Euclide furnisci i rilazioni
da induva
è dunqua
Un'antra dimustrazioni pò essa ottinuta à traversu parechji tiuremi liati à a circumfarenza iscritta à un triangulu è par via di calchì simplicia passata algebrica.
Lemma 1: Tinendu contu di u tiurema di i tangenti si pò diducia da a figura pricidenti ch'è a distanza trà un vertici è u puntu di tangenza di un di i dui lati di u quali hè estremu incù l'inchjerchju hè uguali à a diffarenza trà u mezu perimetru è u latu oppostu a quiddu vertici. Infatti ogni latu hè cumpostu da dui di sti trè sigmenti, inoltri sti sigmenti sò uguali à dui à dui (quiddi aghjacenti, sempri par via di u tiurema di i tangenti) è a somma di tutti è sei hè uguali à u perimetru; par quissa a somma di tutti è trè sigmenti di lunghezza distinta hè uguali à u mezu perimetru è ognunu di quissi hè dunqua u mezu perimetru menu a somma di l'altri dui, è dunqua u latu oppostu à u vertici à u quali apparteni.
Lemma 2: In u casu particulari d'un triangulu rittangulu u raghju di a circumfarenza iscritta hè uguali à u sigmentu chì và da u vertici di l'angulu rettu à u puntu di tangenza incù l'inchjerchju. Quissa parchì, cunsidarendu u quadrilateru avendu com'è vertici u vertici di l'angulu rettu, i punti di tangenza annantu à i cateti è u incentru, si vidaria ch'eddu t'hà trè anguli retti(dunqua ancu u quartu) è veni à dì ch'eddu hè un rittangulu; ma ancu ch'eddu t'hà dui lati consecutivi cungruenti (un' antra volta par via di u tiurema di i tangenti), par quissa hè un rittangulu incù i diminsioni cungruenti, vali à dì un quatratu è dunqua par difinizioni ogni latu di soiu hè cungruenti à tutti l'altri. Quissa implicheghja u lemma chì ci vulia à dimustrà.
Lemma 3: Sii u mezu perimetru, u raghju di a circumfarenza inscritta è l'aria di u triangulu in quistioni (micca nicissariamenti rittangulu, ma tali in a parti siguenti di a noscia dimustrazioni); s'hà a formula: . Quissa si pò virificà cunsidarendu i trè trianguli avendu com'è altezza Ri è com'è basa è eddu rilativa un di i trè lati è custatendu ch'è A hè uguali à a somma di l'arii di quiddi trè trianguli; dunqua, chjamendu , è i trè lati: .
Dimustrazioni algebrica: Siini è i cateti è l'iputenusa di u nosciu triangulu rittangulu. Avemu dunqua:
à stu puntu, usendu u pruduttu nutevuli "somma par diffarenza" si otteni:
avà, par via di "quatratu d'un binomiu" si otteni:
simplifichendu i dinuminatori:
prusegui:
è da quì, finalmenti:
chì currispondi par appuntu à l'enunciatu di u tiurema di pitagora.
Vali ancu l'inversu di u Tiurema di Pitagora (prupusizioni 48 di u prima libru di l' Elementi di Euclide): "S'è in un triangulu di lati a, b è c vali a rilazioni , tandu u triangulu hè rittangulu".
Dimustrazioni. Sii T un triangulu di lati a, b è c tali ch'è . Si cunsidareghja un sicondu triangulu rittangulu T' chì t'hà i cateti pari à a è b (hè sempri pussibuli di custruiscia un triangulu rittangulu dati i dui cateti). Par via di u Tiurema di Pitagora (direttu) l'iputenusa di u triangulu T' sarà para a , veni à dì sarà uguali à u latu c di u triangulu T. I dui trianguli T è T' sarani dunqua cungruenti par via di u terzu criteriu di cungruenza, avendu tutti è trè i lati uguali. Ma tandu ancu u triangulu T sarà rittangulu (CVD).
Un curullariu di u tiurema di Pitagora parmetti di ditarminà s'è un triangulu hè rittangulu, acutangulu o ottusangulu. Induva c currispondi à l'iputenusa, u latu più longu di i trè, è a + b > c (altrimenti ùn avemu micca un triangulu), privalini i siguenti rilazioni:
L'enunciatu inversu furnisci ancu un sistemu moltu simpliciu par custruiscia un angulu rettu (o par cuntrullà a quadratura d'un angulu ghjà esistenti) in situazioni pratichi, com'è a tupugrafia o u agrimensura.
À titulu d'asempiu, incù una funi di lunghezza para à a somma d'una terna pitagorica dimu 12, somma di 5, 4 è 3, in una calchì unità di misura) saria sufficenti di dispona i dui purzioni minori di a corda (quiddi di misura 4 è 3) à un certu angulu frà eddi; s'è l'estremità di a funi, disposta infini in forma triangulari, si chjudini, si saparà ch'è l'angulu cumpresu frà i dui purzioni minori di a corda (à stu puntu i dui cateti) hè cirtamenti rettu.
U tiurema di Pitagora pò essa generalizatu in parechji modi. Di solitu, una generalisazioni hè una rilazioni chì s'appiega à tutti i trianguli, è chì appiigata à i trianguli rittanguli, hè equivalenti à u tiurema di Pitagora.
A più generalisazioni impurtanti di u tiurema di Pitagora hè forsi u tiurema di u cusinu, chì s'appiega à qualsiasi triangulu (micca nicissariamenti rettu). In un triangulu incù vertici è anguli indicati com'è in a figura, privali l'ugualità:
In u casu in u quali sii rettu, vali è dunqua l'enunciatu hè equivalenti à u tiurema di Pitagora. U terminu aghjuntivu pò essa intarpritatu com'è u pruduttu scalariu di i vettori è .
U tiurema di i seni metti in rilazioni i lunghezzi di i lati d'un triangulu è i sini di l'anguli opposti. Sta rilazioni s'appiega ancu à qualsiasi triangulu è, in u casu in u quali quiddu saria rittangulu, pò essa cunsidarata equivalenti à u tiurema di Pitagora (bench'è di manera menu diretta ch'è rispettu à u tiurema di u cusinu).
U tiurema di i sini accerta ch'è in un triangulu qualunqua, incù i nutazioni com'è nantu à a figura, privalini i siguenti rilazioni:
Elevendu à u quatratu:
Summendu i tarmini s'otteni:
Quandu hè un angulu rettu, s'otteni è dunqua
Si otteni dunqua in stu casu u tiurema di Pitagora
Hè pussibuli di stenda u tiurema di Pitagora à qualsiasi triangulu senza fà usu di funzioni trigunumetrichi com'è u sinu è u cusinu. Datu un triangulu com'è nantu à a figura, si tracciani dui sigmenti chì cullegani u vertici incù dui punti è cuntinuti in u sigmentu oppostu (oppuri in un so prulungamentu), di tali manera ch'è l'anguli è siini tremindù uguali à l'angulu di u vertici . A figura mostra un casu in u quali l'angulu hè ottusu: s'eddu hè acutu, i dui punti è sò in ordini inversu (u prima a dritta è u sicondu a manca) è poni escia da u sigmentu .
Privali a siguenti rilazioni:
Quandu hè un angulu rettu, i punti è cuincidini è s'otteni u tiurema di Pitagora
A rilazioni generali pò essa dimustrata sfruttendu a similitudina frà i trianguli , è , chì/ch'è porta à i rilazioni
Si otteni cusì
Summendu i dui uguaglianzi s'otteni a rilazioni iniziali.
Una lighjenda conta ch'è Pitagora avaria furmulatu u so tiurema mentri stava aspittendu un'udienza da Policrate. Pusendu in un grandi salonu di u palazzu di Samo, Pitagora si missi à ussirvà i chjappeddi quatrati di u pavimentu, si pensa ch'è n'avaria vistu una rangata tuttu à fattu sopra à una diagunali, furmendu dui trianguli rittanguli uguali, ma in più d'essa dui trianguli rittanguli erani dinò isusceli, avendu i dui lati uguali. Pitagora imaginò un quatratu custruitu nantu à a diagunali di ruttura di a chjappedda, un quatratu avendu com'è lati i diagunali di i chjappeddi circustanti.
A dimustrazioni hè a siguenti:
U Tiurema di Pitagora cuntinueghja à valè quandu annantu à ogni latu d'un triangulu rittangulu si custruiscini figuri rigulari diffarenti da u quatratu, com'è u triangulu equilateru, u pentagunu rigulari è l'esagunu rigulari aldilà di u mezu chjerchju.
'Ss'articulu pruveni in parti o in tutalità da l'articulu currispundenti di a wikipedia in talianu.