Booleova algebra je algebraická struktura se dvěma binárními a jednou unární operací, která zobecňuje vlastnosti množinových a logických operací. Je nazvána podle britského matematika George Boolea. Mimo oblast algebry se pojem Booleova algebra zužuje na dvouprvkovou Booleovu algebru[1] a používá se pro reprezentaci pravdivostních hodnot a logických funkcí. Klíčový význam mají Booleovy algebry také pro metodu forsingu.

Formální definice

Booleova algebra je definována jako distributivní komplementární svaz.[2]

Jinou ekvivalentní definicí je následující. Booleova algebra je šestice (A, ∧, ∨, −, 0, 1), kde A je neprázdná množina, 0 ∈ A je nejmenší, 1 ∈ A největší prvek, − je unární operace (doplněk neboli komplement) a ∧, ∨ jsou binární operace (průsek a spojení) na A, splňující následující axiomy.

Komutativita:
Distributivita:
Neutralita 0 a 1:
Komplementarita:

Někdy se uvádí ještě axiom nedegenerovanosti: . Při jeho zavedení pak triviální svaz tvořený jednoprvkovou množinou není Booleovou algebrou.

Vlastnosti

Pro Booleovu algebru A a každé x, y, zA platí:

Příklady

Dvouprvková algebra je algebra nad množinou A = {0, 1}, kde operace jsou dány přirozeným způsobem, tj. 0 a 1 jsou vzájemně komplementární a protože platí 0 < 1, průsek (infimum) je menší z operandů, spojení (supremum) je větší z operandů:

0 0 0 0
0 1 1 0
1 0 1 0
1 1 1 1

Nejjednodušší Booleova algebra obsahuje pouze jeden prvek, neboli 0 = 1 (zde nejde o spor, nýbrž o dvojí značení jednoho prvku). Všechny operace dávají stejný výsledek (jiné zde ani neexistují), proto se nazývá triviální. Tato algebra samozřejmě může existovat jedině tehdy, když nepoužijeme axiom nedegenerovanosti.

Prakticky používanými příklady Booleových algeber jsou algebry výroků (či obecněji Lindenbaumovy algebry formulí) a množinové algebry.

Odkazy

Reference

  1. Aplikovaná matematika, s. 187.
  2. Aplikovaná matematika, s. 184.

Literatura

Související články

Externí odkazy