Lieova algebra je algebraická struktura, která úzce souvisí s Lieovými grupami a jejich reprezentacemi.
Definice
Lieova algebra je algebra, tj. vektorový prostor nad tělesem spolu s bilineárním zobrazením (Lieova závorka) ve tvaru
- ,
které pro všechna splňuje vlastnosti:
- .
- .
Lze jednoduše z definice ukázat, že alternativita implikuje antikomutativitu, a naopak v případě, že uvažujeme těleso jiné charakteristiky než dva, antikomutativita implikuje alternativitu.
- Uvažujme libovolné dva prvky . S využitím bilinearity Lieovy závorky lze psát
- ,
- z čehož dostáváme antikomutativitu. Naopak stačí uvažovat
- ,
- z čehož plyne , a tudíž z antikomutativity plyne alternativita.