Die Charakteristik ist in der Algebra eine Kennzahl eines Ringes oder Körpers. Sie gibt die kleinste Anzahl der benötigten Schritte an, in denen man das multiplikative neutrale Element (1) eines Körpers oder Rings addieren muss, um das additive neutrale Element (0) zu erhalten. Ist dies nicht möglich, so ist die Charakteristik 0. Davon zu unterscheiden ist der mathematische Begriff Charakter.
Definition
Die Charakteristik eines unitären Ringes
ist die kleinste natürliche Zahl
, für die in der Arithmetik des Ringes die
-fache Summe des Einselementes
gleich dem Nullelement wird, also
,
falls eine solche Zahl existiert. Anderenfalls, also wenn jede endliche Summe von Einsen ungleich null ist, wird die Charakteristik des Ringes als
definiert.
Eine übliche Abkürzung der Charakteristik von
ist
.
Alternative Definitionsmöglichkeiten, die keine Sonderbehandlung für das Ergebnis
benötigen, sind:
- Die Charakteristik des unitären Rings
ist der eindeutig bestimmte nichtnegative Erzeuger des Kerns des kanonischen unitären Ringhomomorphismus
.
- Die Charakteristik des unitären Rings
ist die eindeutig bestimmte nichtnegative ganze Zahl
, für die
einen unitären Teilring enthält, der isomorph zum Restklassenring
ist. (Beachte, dass
ist.)
Bemerkung
Obige Definitionen erklären insbesondere auch die Charakteristik von Körpern, denn jeder Körper ist ein unitärer Ring.
Eigenschaften
Bei Ringen
Jeder unitäre Teilring
eines unitären Rings
hat dieselbe Charakteristik wie
.
Gibt es einen Ringhomomorphismus
zwischen zwei unitären Ringen
und
, so ist die Charakteristik von
ein Teiler der Charakteristik von
.
Für jeden Integritätsring (und insbesondere jeden Körper) ist die Charakteristik entweder 0 oder eine Primzahl (zum Beweis siehe Artikel Integritätsring). Im letzteren Fall spricht man auch von positiver Charakteristik.
Ist
ein kommutativer unitärer Ring mit Primzahlcharakteristik
, dann gilt
für alle
. Die Abbildung
ist dann ein Ringhomomorphismus und wird Frobeniushomomorphismus genannt.
Ein kommutativer Ring mit der Charakteristik 0 wird ein Ring gemischter Charakteristik genannt, wenn es ein Ideal
des Rings gibt, so dass
positive Charakteristik hat.[1] Ein Beispiel ist der Ring der ganzen Zahlen
mit Charakteristik Null, bei dem
für jede Primzahl
ein endlicher Körper mit Charakteristik
ist.
Beispiel
Der Restklassenring
hat die Charakteristik
.
Bei Körpern
Jeder geordnete Körper hat die Charakteristik 0; Beispiele sind die rationalen Zahlen oder die reellen Zahlen.
Jeder Körper der Charakteristik 0 ist unendlich; er enthält nämlich einen Primkörper, der isomorph zum Körper der rationalen Zahlen ist.
Beispiele
- Da der Körper der komplexen Zahlen die rationalen Zahlen enthält, ist auch seine Charakteristik 0.
- Für ein irreduzibles Polynom
vom Grad
über dem Restklassenkörper
ist der Faktorring
ein Körper (der isomorph ist zum endlichen Körper
), der
enthält und demnach die Charakteristik
hat.
- Die Mächtigkeit eines endlichen Körpers der Charakteristik
ist eine Potenz von
. Denn er enthält den Teilkörper
und ist ein endlichdimensionaler Vektorraum über diesem Teilkörper. Aus der linearen Algebra ist bekannt, dass die Ordnung des Vektorraums dann eine Potenz von
ist.
- Es gibt unendliche Körper mit Primzahlcharakteristik; Beispiele sind der Körper der rationalen Funktionen über
oder der algebraische Abschluss von
.