In verschiedenen Teilgebieten der Mathematik, insbesondere im Bereich der abstrakten Algebra, bezeichnet man Abbildungen als Derivationen, wenn sie eine bestimmte Funktionalgleichung erfüllen. Diese Gleichung wird als Leibniz-Regel bezeichnet und erinnert an die Produktregel aus der Differentialrechnung. Tatsächlich ist der Begriff der Derivation eine Abstraktion der Ableitung in den Kontext der Algebra. Eine Algebra über einem kommutativen Ring zusammen mit einer Derivation wird auch Differentialalgebra genannt.[1]
Es sei ein kommutativer Ring mit Eins, beispielsweise ein Körper wie oder . Außerdem sei eine -Algebra. Eine (-lineare) Derivation (auch -Derivation) von ist eine -lineare Abbildung , die
erfüllt. Die Eigenschaft -linear besagt, dass für alle und die Gleichungen
und
gelten. Eine Algebra zusammen mit einer Derivation wird Differentialalgebra genannt.[2] Die Definition schließt Ringe ein, indem man sie als -Algebren auffasst.
Bildet in einen Modul oder Bimodul ab, so kann man die Definition analog angeben.[3]
Im Folgenden sei weiterhin eine Derivation.
Per definitionem werden -lineare Derivationen einer kommutativen Algebra durch den Modul der Kähler-Differentiale klassifiziert, d. h., es gibt eine natürliche Bijektion zwischen den -linearen Derivationen von mit Werten in einem -Modul und den -linearen Abbildungen . Jede Derivation entsteht als Verkettung der universellen Derivation mit einer -linearen Abbildung .
Ist eine - oder -graduierte -Algebra, so heißt eine -lineare graduierte Abbildung eine Antiderivation, wenn
für alle homogenen Elemente gilt; dabei bezeichnet den Grad von .