Die dualen C*-Algebren, auch C*-Algebren kompakter Operatoren genannt, sind eine spezielle Unterklasse von in der Mathematik betrachteten C*-Algebren. Sie zeichnen sich durch eine besonders einfache Struktur aus.
Definition
Ist
eine Teilmenge einer Algebra
, so heißt
der Links-Annullator von
. Entsprechend heißt
der Rechts-Annullator von
. Ganz allgemein nennt man eine Banachalgebra dual, wenn folgende Dualitätsbeziehungen bestehen:
für alle abgeschlossenen Linksideale
,
für alle abgeschlossenen Rechtsideale
.
Bei C*-Algebren folgt jede der Bedingungen aus der jeweils anderen, da sich Links- und Rechtideale via Involution eineindeutig entsprechen.
Charakterisierungen
Eine C*-Algebra heißt elementar, wenn es einen Hilbertraum
gibt, so dass sie isomorph zur Algebra
der kompakten Operatoren auf
ist. Das eingeschränkte Produkt einer Familie
von C*-Algebren ist die Unteralgebra des kartesischen Produktes der
, die aus allen Tupeln
besteht, für die
für jedes
endlich ist. Zusammen mit der Norm
ist dies wieder einer C*-Algebra. Mit diesen Begriffsbildungen gilt nun:
Für eine C*-Algebra
sind folgende Aussagen äquivalent:
ist eine duale C*-Algebra.
- Die Summe der minimalen Linksideale liegt dicht in
.
- Die Summe der minimalen Rechtsideale liegt dicht in
.
ist isomorph zu einer Unter-C*-Algebra einer elementaren C*-Algebra.
ist isomorph zu einem eingeschränkten Produkt einer Familie elementarer C*-Algebren.
- Das Gelfand-Spektrum jeder maximalen kommutativen Unter-C*-Algebra ist diskret.
- Für jedes
ist der Operator der Linksmultiplikation
ein schwach-kompakter Operator.
- Für jedes
ist der Operator der Rechtsmultiplikation
ein schwach-kompakter Operator.
Dabei heißt ein Operator schwach-kompakt, wenn das Bild einer beschränkten Menge in der schwachen Topologie einen kompakten Abschluss hat.
Wegen dieser Charakterisierung nennt man duale C*-Algebren auch C*-Algebren kompakter Operatoren.