Als Durchbiegung länglicher Gegenstände wie Balken oder Stäben wird der Versatz zwischen belasteter und unbelasteter Lage bezeichnet, der bei Biegebelastung quer zur Längsachse entsteht.
Die Durchbiegung lässt sich bei linear-elastischerVerformung mit Hilfe der Balkentheorie berechnen. Als Durchbiegung wird i. d. R. der Versatz bezeichnet, der in der dabei ermittelten Biegelinie an einer Stelle dargestellt wird.
Unter der Annahme, dass y und z die Hauptträgheitsachsen sind (y horizontal nach hinten und z vertikal) und dass sich die Krümmung in y-Richtung, d. h. die Ableitung des Steigungswinkelsw' in der vertikalen xz-Bildebene, an der Stelle x wie folgt berechnen lässt: [1]
Für die Biegelinie eines hinreichend elastischen, schlanken Bauteiles mit konstantem Querschnitt lautet eine oft verwendete Näherungsformel der Krümmung für betragsmäßig kleine Steigungswinkel w'≈0 unter ausschließlicher Momentenbelastung ():
Wirkt die KraftF mittig (d. h. bei der halben Stablänge ) auf einen Träger mit konstanten Querschnittseigenschaften auf zwei Stützen, so ist das Biegemoment und damit auch die Stabkrümmung in der Stabmitte am größten (Erläuterung hier):
Für gilt unter Vernachlässigung der Schubverformungen (GA=∞):
damit folgt unter Berücksichtigung der Randbedingung und der Übergangsbedingung :
Wirkt eine konstante Liniengleichlast ( in N/m)[3] auf einen Träger auf zwei Stützen mit konstanten Querschnittseigenschaften, so gilt unter Vernachlässigung der Schubverformungen (GA=∞):
Dies ergibt:
Anmerkung: Bei Linienlast ist Ausgangsgleichung die 4. Ableitung der Biegelinie:
Diese (mit ) wurde viermal integriert, wobei nach dem zweiten Integrieren als Zwischenergebnis der Zusammenhang zwischen der Biegelinie und dem Biegemomentverlauf gefunden wurde:
Bei flächenhafter Ausdehnung des Gegenstandes wird die Berechnung recht kompliziert, lässt sich aber bei Kreisflächen – etwa für Membranen (z. B. Lautsprecher) oder große Linsen (z. B. Fernrohrobjektive) – ebenfalls abschätzen.
Hat die Membran eine nur geringfügige Dicke d, so folgen die Biegemomente einer radialen bzw. tangentialen Differentialgleichung. Die Biegelinie der Kreismembran erfordert aber eine zusammengesetzte Differentialformel, die bei einer Querkraft Q genähert lautet:
Solange ein Gegenstand sich auf einer Ebene mit Querschnittseigenschaften/Plattenerzeugendeneingenschaften eindeutig abbildbar und homogen, orthotrop und linear elastisch aufgebaut ist, bietet die analytische Mechanik Lösungsmöglichkeiten auch für andere regelmäßige Formen (Airy’sche Spannungsfunktion). Auch Fälle mit unterschiedlichen Materialien sind genähert lösbar, wenn ihre Verbindungsstellen mechanisch klar definiert sind, z. B. bei axialer Anordnung.
Komplexere Formen sind jedoch nicht streng berechenbar. Sie werden oftmals durch Biegeversuche im Labor oder mathematisch-physikalisch durch Zerlegung in netzartige Teile (v. a. Finite-Elemente-Methoden) untersucht. Für Beton gibt es für die Baupraxis ausreichend genaue Annahmen, um es im ungerissenen Bereich (der Mikrorisse, jedoch keine Makrorisse enthält) als verschmiert homogenes Material betrachten zu können.
Th. Dorfmüller, W. Hering, K. Stierstadt: Ludwig Bergmann–Clemens Schaefer Lehrbuch der Experimentalphysik. Band 1: Mechanik, Relativität, Wärme. 11., neubearb. Auflage, De Gruyter, Berlin 1998, ISBN 3-11-012870-5.
H. Mang, G Hofstetter: Festigkeitslehre. Springer Verlag, WienNewYork 2008 (3. Auflage), ISBN 978-3-211-72453-8, S. 176; 249.
↑Tobias Renno: www.statik-lernen.de. Archiviert vom Original (nicht mehr online verfügbar) am 15. Mai 2017; abgerufen am 23. August 2017.Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/www.statik-lernen.de