Im mathematischen Teilgebiet der kommutativen Algebra ist der Begriff eines ganzen Elementes in einer Ringerweiterung eine Verallgemeinerung des Begriffes eines algebraischen Elementes in einer Körpererweiterung.
Es sei ein Ring und eine -Algebra. Dann heißt ein Element ganz über , wenn es ein Polynom mit Leitkoeffizient 1 gibt, so dass gilt, also wenn es ein und Koeffizienten gibt mit
Die Menge der über ganzen Elemente von heißt der ganze Abschluss von in .
Falls der ganze Abschluss von in mit übereinstimmt, heißt ganz abgeschlossen in . Stimmt der ganze Abschluss von in jedoch mit überein, ist also jedes Element von ganz über , so heißt ganz über .
Sei eine Ringerweiterung, . Dann sind äquivalent:[1]