Die Integration durch Substitution oder Substitutionsregel ist eine wichtige Methode in der Integralrechnung, um Stammfunktionen und bestimmte Integrale zu finden. Die Substitutionsmethode erlaubt es unter gewissen Umständen, einen „komplizierten“ Integranden durch einen „einfachen“ Integranden zu ersetzen, wodurch die Berechnung letztlich auf ein bekanntes oder einfacher handhabbares Integral zurückgeführt wird. Neben dieser praktischen Bedeutung stellt sie einen zentralen Baustein der Analysis dar, mit dessen Hilfe sich wesentliche theoretische Resultate beweisen oder herleiten lassen.
Die Substitutionsregel bildet das Gegenstück zur Kettenregel der Differentialrechnung. Ihr Äquivalent für Integrale über multivariaten Funktionen ist der Transformationssatz, der allerdings eine bijektive Substitutionsfunktion voraussetzt.
Ist eine stetige Funktion auf einem reellen Intervall und eine stetig differenzierbare Funktion, so gilt
Die Substitutionsregel lässt sich mithilfe des Differentialkalküls herleiten: Dazu substituiert man und schreibt die Ableitung als . Die linke Seite dieser Gleichung fasst man als Quotient von zwei Differentialen auf, wodurch man nach Multiplikation mit die Gleichung erhält. Durch Einsetzen in das Integral erhält man hiermit
Im linken Integral ist die Integrationsvariable, im rechten Integral hingegen . Der Wechsel der Integrationsvariable von zu erfordert noch eine Anpassung der Integrationsgrenzen: Für ist und für ist . Damit erhält man schließlich
Ist eine Stammfunktion von , so gilt für die Ableitung der zusammengesetzten Funktion nach der Kettenregel
Also ist eine Stammfunktion von .
Durch zweimaliges Anwenden des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung erhält man die Substitutionsregel:
Die Substitutionsmethode lässt sich unter etwas engeren Voraussetzungen auch „rückwärts“ durchführen. Ausgangspunkt ist das Integral
über einer stetigen Funktion mit . Ist eine injektive Funktion, so existiert die Umkehrfunktion und somit auch und . Setzt man noch voraus, dass stetig differenzierbar ist, so kann man die Substitutionsregel von rechts nach links lesen, wodurch man die Formel
erhält. Sie lässt sich wie folgt interpretieren: Transformiert man die Variable mittel , so ändert sich der Wert des Integrals nicht, wenn man die neue Funktion mit der Ableitung von multipliziert und die Integralgrenzen wie oben anpasst. In dieser Fassung nennt man die Substitutionsregel deshalb auch Transformationsformel.
Bei geschickter Wahl der Funktion kann entgegen dem ersten Anschein der Integrand vereinfacht werden.
Berechnung des Integrals
für eine beliebige reelle Zahl :
Durch die Substitution erhält man , also , und damit:
- .
Berechnung des Integrals
- :
Durch die Substitution erhält man , also , und damit
- .
Es wird also durch ersetzt und durch .
Die untere Grenze des Integrals wird dabei in umgewandelt und die obere Grenze in .
Das ist ein Beispiel für die Substitution rückwärts.
Für die Berechnung des Integrals
kann man substituieren. Daraus ergibt sich . Um die Integrationsgrenzen umzurechnen, benutzt man die umgekehrte Beziehung . Die obere Grenze wird zu , weil . Aus ergibt sich die neue untere Grenze .
Mit für rechnet man
- .
Das Ergebnis kann mit partieller Integration oder mit der trigonometrischen Formel
und einer weiteren Substitution berechnet werden. Es ergibt sich
- .
(Damit haben wir die Fläche eines Viertelkreises berechnet.)
Unter den obigen Voraussetzungen gilt
wobei eine Stammfunktion von ist.
Durch quadratische Ergänzung und anschließende Substitution , erhält man
Mit der Substitution erhält man
Man beachte, dass die Substitution nur für bzw. nur für streng monoton ist.
Integrale mit linearen Verkettungen können wie folgt berechnet werden: Ist eine Stammfunktion von , dann gilt
- , falls .
Zum Beispiel gilt
- ,
da und .
Integrale, bei denen der Integrand ein Bruch ist, dessen Zähler die Ableitung des Nenners ist, können sehr einfach mit Hilfe der logarithmischen Integration gelöst werden:
- .
Das entspricht einem Spezialfall der Substitutionsmethode mit .
Zum Beispiel gilt
- ,
da die Ableitung hat.
Nach einem Satz von Bernoulli lassen sich alle Integrale des Typs
und
elementar integrieren.
Beispiel:
Durch die Substitution also ,
,
und
ergibt sich
- .
- Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1, 5. Auflage, B. G. Teubner, Stuttgart 1988, ISBN 3-519-42221-2, S. 464
- Konrad Königsberger: Analysis 1, Springer, Berlin 1992, ISBN 3-540-55116-6, S. 200–201
- Richard Courant: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung 1, 4. Auflage, Springer, Berlin / Heidelberg/ New York 1971, ISBN 3-540-05466-9, S. 182–191
- Einfache Erklärung/Beispiele für die Substitutionsregel
- Video: Substitutionsregel. Jörn Loviscach 2011, zur Verfügung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek (TIB), doi:10.5446/9911.
- Video: Integration durch Substitution, Fingerübung. Jörn Loviscach 2013, zur Verfügung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek (TIB), doi:10.5446/10142.
- Video: drei Wege für Integration durch Substitution. Jörn Loviscach 2013, zur Verfügung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek (TIB), doi:10.5446/10144.
- Video: Partielle Integration, Substitutionsregel, Integration durch Partialbruchzerlegung. Jörn Loviscach 2012, zur Verfügung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek (TIB), doi:10.5446/9987.
- Video: Beispiele partielle Integration, Substitutionsregel, Integration durch Partialbruchzerlegung. Jörn Loviscach 2012, zur Verfügung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek (TIB), doi:10.5446/9988.