In der Logik wird als Konjunktion (von lateinisch coniungere ‚verbinden‘) oder auch Und-Verknüpfung eine bestimmte Verknüpfung zweier Aussagen oder Aussagefunktionen bezeichnet. Gelesen wird die Konjunktion zweier Aussagen A, B meist als „A und B“. In der klassischen Logik ist die Konjunktion zweier Aussagen "A und B" genau dann wahr, wenn sowohl "A" als auch "B" wahr sind.
Mit dem Wort Konjunktion kann gemeint sein
In der klassischen Logik ist die Konjunktion zweier Aussagen und genau dann wahr, wenn sowohl als auch wahr sind, und genau dann falsch, wenn mindestens eine der beiden Aussagen , falsch ist. Dieser Zusammenhang wird anschaulich in der Wahrheitstabelle der entsprechenden Wahrheitswertefunktion, der et-Funktion, dargestellt:
wahr | wahr | wahr |
wahr | falsch | falsch |
falsch | wahr | falsch |
falsch | falsch | falsch |
Gebräuchliche Schreibweisen für die Konjunktion sind , „A & B“, „A ▪ B“, „“ (Peano) und „“. In der polnischen Notation wird die Konjunktion als „Kab“ geschrieben.
Eine Konjunktion selbst ist ein Boolescher Ausdruck. In der Digitaltechnik werden konjunktiv verknüpfte Variablen auch Produktterm genannt.
Für die Konjunktion gelten unter anderem folgende wichtige Gesetze:
In Kalkülen des natürlichen Schließens werden als Schlussregeln für die Konjunktion die Konjunktionseinführung und die Konjunktionsbeseitigung verwendet. Mit der Konjunktionseinführung lässt sich aus zwei Aussagen A, B auf deren Konjunktion schließen; mit der Konjunktionsbeseitigung lässt sich aus der Konjunktion auf jedes der Konjunkte beziehungsweise schließen.
Beim Aufstellen einer mehrwertigen Konjunktion bemüht man sich im Allgemeinen, möglichst viele Eigenschaften der klassischen Konjunktion beizubehalten, insbesondere die Assoziativität und Kommutativität. Damit kann eine mehrwertige Konjunktion axiomatisch folgendermaßen definiert werden:
ist eine Konjunktion, wenn gilt:
Weitere sinnvolle, aber nicht notwendige Eigenschaften sind Stetigkeit und Idempotenz.
In dreiwertigen Logiken wurden beispielsweise folgende Konjunktionen aufgestellt:
Konjunktion
in der dreiwertigen Logik Ł3
von Jan Łukasiewicz (1920)
1 | 1 | 1 |
1 | 0,5 | 0,5 |
1 | 0 | 0 |
0,5 | 1 | 0,5 |
0,5 | 0,5 | 0,5 |
0,5 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 |
0 | 0,5 | 0 |
0 | 0 | 0 |
Konjunktion
in der dreiwertigen Logik B3
von Dimitri Anatoljewitsch Bočvar (1938)
1 | 1 | 1 |
1 | 0,5 | 0,5 |
1 | 0 | 0 |
0,5 | 1 | 0,5 |
0,5 | 0,5 | 0,5 |
0,5 | 0 | 0,5 |
0 | 1 | 0 |
0 | 0,5 | 0,5 |
0 | 0 | 0 |
Das natürlichsprachliche Wort „und“ ist nicht mit der Konjunktion im Sinn der Logik identisch. Einerseits wird das Wort „und“ nicht immer im Sinn der logischen Konjunktion verwendet. Beispiele:
Andererseits kann die Konjunktion auch durch andere sprachliche Mittel ausgedrückt werden. Beispiel:
In der Mengenlehre definiert man ein Element des Durchschnittes zweier Mengen durch die Konjunktion