Cosio war der Sohn von Domingo Cosio und Angela Madsen.[4] Er gehörte der Partido Colorado an und saß in der 24. Legislaturperiode vom 15. Februar 1911 bis zum 27. März 1913 als Abgeordneter für das DepartamentoMontevideo in der Cámara de Representantes.[5] Später übte er auch von 1913 bis 1916[6] das Amt des Finanzministers aus.[7] Ab dem 21. November 1918 bis zum 4. Oktober 1919 hatte er die Position des Gesandten Uruguay in den USA inne.[8] Von 1927 bis 1932 war er uruguayischer Botschafter in der Weimarer Republik.[9]