Eine quadratische Funktion (auch ganzrationale Funktion zweiten Grades) ist eine Funktion, die als Funktionsterm ein Polynom vom Grad 2 besitzt, also von der Form
Die Funktion mit der Zuordnungsvorschrift heißt Quadratfunktion. Ihr Graph ist eine nach oben geöffnete, zur y-Achse symmetrische Parabel, deren Scheitelpunkt im Koordinatenursprung liegt, die Normalparabel.
Eine Funktionen der Form mit heißt spezielle quadratische Funktion. Ihr Graph ist eine zur -Achse symmetrische Parabel mit Scheitelpunkt im Ursprung. Diese entsteht aus der Normalparabel durch Strecken oder Stauchen in Richtung der -Achse und gegebenenfalls Spiegeln an der -Achse:
: Die Parabel ist nach oben geöffnet.
: Die Parabel ist nach unten geöffnet.
: Der Graph ist in Richtung der -Achse gestaucht, d. h. in der Länge zusammengedrückt, wodurch er breiter erscheint und flacher ist.
: Der Graph ist in Richtung der -Achse gestreckt, d. h. in die Länge gezogen, wodurch er schmaler erscheint und steiler ist.
Für : ist der Graph im Vergleich zur Normalparabel einfach an der -Achse gespiegelt.
Wie der Wert von die Form des Graphen verändert, kann man am besten erkennen, wenn man und setzt. Man erhält dann eine gestreckte oder gestauchte und gegebenenfalls an der -Achse gespiegelte Normalparabel.
: Der Graph ist nach oben geöffnet.
: Der Graph ist nach unten geöffnet.
: Der Graph ist in Richtung der -Achse gestaucht, d. h. in der Länge zusammengedrückt, wodurch er breiter erscheint und flacher ist.
: Der Graph ist in Richtung der -Achse gestreckt, d. h. in die Länge gezogen, wodurch er schmaler erscheint und steiler ist.
Für : ist der Graph im Vergleich zur Normalparabel einfach an der -Achse gespiegelt.
Es gilt . Der Parameter ist also der -Wert des Schnittpunkts der Parabel mit der -Achse.
Eine Veränderung des Parameters bewirkt eine Verschiebung in -Richtung. Wird um eins erhöht, dann wird der Graph um eine Einheit nach oben verschoben. Wird um eins verringert, wird der Graph dagegen um eine Einheit nach unten verschoben.
Der Parameter gibt die Steigung der Parabel im Schnittpunkt mit der -Achse an. Insbesondere kann man am Vorzeichen von erkennen, ob die -Achse mit dem fallenden oder dem ansteigenden Ast der Parabel geschnitten wird. Hieraus lassen sich wiederum Rückschlüsse über die Zahl und die mögliche Lage von Nullstellen ziehen.
Eine Veränderung des Parameters bewirkt eine Verschiebung sowohl in - als auch in -Richtung. Wird um eins erhöht, dann wird der Graph um Einheiten nach links und nach unten verschoben. Wird um eins verringert, wird der Graph dagegen um Einheiten nach rechts und nach oben verschoben.
Der Scheitelpunkt ist maßgeblich für die Lage der Parabel und repräsentiert entweder das absolute Minimum (falls positiv ist) oder das absolute Maximum (wenn negativ ist). Die Koordinaten des Scheitelpunkts lassen sich direkt ablesen, wenn der Funktionsterm in der Scheitelpunktform vorliegt:
.
Der Scheitelpunkt hat dann die Koordinaten . Der Graph ist achsensymmetrisch zu einer Parallele zur -Achse durch .
Zur Bestimmung des Scheitelpunkts bzw. der Scheitelpunktform gibt es mehrere Methoden:
Bestimmung der Scheitelpunktform mit quadratischer Ergänzung
Eine weitere Möglichkeit zur Berechnung des Scheitelpunktes bietet die Differentialrechnung. Da der Scheitelpunkt immer eine (lokale) Extremstelle (Maximum bzw. Minimum) ist, liefert die Nullstelle der ersten Ableitung der Funktion den -Wert des Scheitelpunktes:
,
Durch Einsetzen ergibt sich der -Wert:
Beispiel:
Bestimmung des Scheiteilpunkts der quadratischen Funktion .
Die ursprüngliche Funktionsgleichung
Die 1. Ableitung der Funktion
Bestimmung der Nullstelle der 1. Ableitung durch Gleichsetzen mit null
Weil die Parabel nur für die Bereiche und monoton ist, ergibt sich für jeden Bereich (jeden Ast der Parabel) eine Umkehrfunktion, welche zusammen ausgedrückt werden kann mit
Sei ein beliebiger Ring. Als quadratische Polynome über bezeichnet man Ausdrücke der Form
mit und . Formal handelt es sich um Elemente des Polynomringes vom Grad 2, sie definieren Abbildungen von nach . Im Fall handelt es sich im obigen Sinne um quadratische Funktionen.
Allgemeiner sind quadratische Polynome in Variablen Ausdrücke der Form
,
wobei nicht alle Null sein sollen.
Diese Polynome definieren Abbildungen von nach . Ihre Nullstellenmengen im werden als Quadriken bezeichnet, im Fall auch als Kegelschnitte.