Exakte Formulierung: Konstruiert man ein Dreieck aus den beiden Endpunkten des Durchmessers eines Halbkreises (Thaleskreis) und einem weiteren Punkt dieses Halbkreises, so erhält man immer ein rechtwinkliges Dreieck.
Oder: Liegt der Punkt eines Dreiecks auf einem Halbkreis über der Strecke, dann hat das Dreieck bei immer einen rechten Winkel.
Auch die Umkehrung des Satzes ist korrekt: Der Mittelpunkt des Umkreises eines rechtwinkligen Dreiecks liegt immer in der Mitte der Hypotenuse, also der längsten Seite des Dreiecks, die dem rechten Winkel gegenüberliegt.
Euklid leitet den Satz des Thales im dritten Band seiner Elemente mit Hilfe folgender Sätze, die ebenfalls Thales zugeschrieben werden und im ersten Band enthalten sind, her:[2]
ABC sei ein Dreieck innerhalb eines Kreises mit als Kreisdurchmesser und dem Radius. Dann ist der Mittelpunkt M der Strecke auch der Kreismittelpunkt. Die Streckenlängen , und sind also gleich dem Radius .
Die Strecke teilt das Dreieck in zwei Dreiecke und auf, die gleichschenklig sind. Die Basiswinkel dieser Dreiecke, also die Winkel an der Grundseite bzw. , sind daher jeweils gleich ( beziehungsweise in der Abbildung).
Die Umkehrung des Satzes von Thales lässt sich auf die Aussage zurückführen, dass die Diagonalen eines Rechtecks gleich lang sind und sich gegenseitig halbieren.
Eine wichtige Anwendung des Satzes von Thales ist u. a. die Konstruktion der beiden Tangenten an einen Kreis k durch einen außerhalb dieses Kreises gelegenen Punkt.
Gegeben sei der Radius vom Kreis mit seinem Mittelpunkt sowie der Abstand des Punktes von . Vom Punkt wissen wir nur, dass er auf der Kreislinie, irgendwo im ersten Viertel vom Kreis , liegen muss. Würde man nur diese Bedingung berücksichtigen, könnte man unendlich viele Dreiecke einzeichnen.
Da die obere durch verlaufende Tangente den Kreis genau im Punkt berührt, muss das Dreieck einen rechten Winkel am Punkt haben (Grundeigenschaft der Kreistangente), oder anders formuliert: Die Strecke muss senkrecht auf der Tangente stehen.
Um ein Dreieck zu finden, das auch rechtwinklig ist, ermitteln wir von der Strecke den Mittelpunkt mithilfe der Mittelsenkrechten, zeichnen einen Kreis mit dem Radius um den Mittelpunkt und machen uns das Prinzip des Thaleskreises zunutze: Alle Dreiecke mit der Grundseite , deren dritter Eckpunkt auf dem Thaleskreis liegt, sind rechtwinklig. Dies gilt natürlich auch für das Dreieck .
Der Berührpunkt kann deshalb nur der Schnittpunkt des Kreises mit dem hellgrauen Kreis sein. Durch Verbinden von mit erhält man nun die gesuchte Tangente (in der Zeichnung rot).
Es existiert eine zweite, symmetrischeLösung in der unteren Hälfte des Kreises. Die Tangente (ebenfalls rot gezeichnet) berührt den Kreis ebenfalls, und zwar im Punkt .
Für die zwei folgenden Anwendungen beginnt man mit der Konstruktion der beiden Kreistangenten an den Hilfskreis (grün) – analog zur obigen Beschreibung – mithilfe des Mittelpunktes der kleineren Riemenscheibe.
Soll die Quadratwurzel einer reellen Zahl, die größer als 1 ist, gefunden werden, ohne vorherige Aufteilung der Zahl in - und -Anteile, eignet sich dafür die Methode, die das nebenstehende Bild zeigt. Im Prinzip sind damit auch Quadratwurzeln von Zahlen, die kleiner als 1 sind, vorstellbar.
Es beginnt mit dem Einzeichnen der Strecke mit Länge auf einer hier nicht näher bezeichneten Geraden. Ist die gegebene Zahl eine ganze Zahl, wird das Produkt ab dem Punkt auf die Gerade abgetragen; d. h. ist z. B. die Zahl , wird die Strecke achtmal abgetragen. Der dadurch entstehende Schnittpunkt bringt die Hypotenuse des entstehenden Dreiecks.
Ist die Quadratwurzel einer Zahl, die kleiner als ist, gesucht, eignet sich dafür die Methode, die das nebenstehende Bild zeigt.
Es beginnt ab dem Punkt (Wert ) mit einer Halbgeraden. Darauf wird die Strecke mit Länge und die Strecke mit Länge bestimmt. Dabei ergibt sich die Hypotenuse des entstehenden Dreiecks Hat die gegebene Dezimalzahl nur eineNachkommastelle, wird das Produkt ab dem Punkt abgetragen; d. h. ist z. B. wird die Strecke achtmal abgetragen. Der dadurch entstehende Schnittpunkt bringt
Wenn die gegebene Dezimalzahl mehr als eine Nachkommastelle hat, z. B. , besteht u. a. die Möglichkeit, wie bereits oben im Abschnitt Zahl größer als 1 darauf hingewiesen, mithilfe des dritten Strahlensatzes zu konstruieren.
Es folgen die Senkrechte auf die Strecke im Punkt und die Halbierung der Seite in Abschließend wird der Thaleskreis (Radius ) um gezogen.
Nach dem Höhensatz des Euklid gilt
somit ist die Höhe des rechtwinkligen Dreiecks gleich der Quadratwurzel aus .
Wegen gilt auch:
Im rechtwinkligen Dreieck ist die Länge das geometrische Mittel der Längen und .