Der Satz von Wolstenholme (nach Joseph Wolstenholme) ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie. Er lautet:
Ist eine Primzahl, so hat die harmonische Zahl
einen durch teilbaren Zähler (in vollständig gekürzter und daher auch in jeder anderen Darstellung als Quotient zweier ganzer Zahlen).[1][2]
Zur Veranschaulichung einige Beispiele:
Der Satz von Wolstenholme ist äquivalent zu der Aussage, dass der Zähler von
durch teilbar ist.[3]
Eine Folgerung aus dem Satz ist die Kongruenz
die auch in der Form
geschrieben werden kann.
Eine Wolstenholme-Primzahl p ist eine Primzahl, die eine stärkere Fassung des Satzes von Wolstenholme erfüllt, genauer: die eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:[4]
Die beiden bisher einzigen bekannten Wolstenholme-Primzahlen sind 16843 (Selfridge und Pollack 1964)[5] und 2124679 (Buhler, Crandall, Ernvall und Metsänkylä 1993).[6] Jede weitere Wolstenholme-Primzahl müsste größer als 109 sein.[7] Es wurde die Vermutung aufgestellt, dass unendlich viele Wolstenholme-Primzahlen existieren, und zwar etwa unterhalb (McIntosh 1995).[8]
Betrachtet man nur Summanden mit ungeradem Nenner, also die Summe
für eine Primzahl , so ist der Zähler genau dann durch teilbar, wenn die stärkere Form
des Satzes von Euler-Fermat gilt.[9] Derartige Primzahlen heißen Wieferich-Primzahlen.
Aus dem Satz von Wilson folgt die Kongruenz
für jede Primzahl und jede natürliche Zahl
Charles Babbage bewies 1819[10] die Kongruenz
für jede Primzahl
Joseph Wolstenholme bewies 1862[1] die Kongruenz
für jede Primzahl