Das Wiener-Filter oder auch Wiener-Kolmogoroff-Filter ist ein Filter zur Signalverarbeitung, welches in den 1940er Jahren von Norbert Wiener und Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow unabhängig voneinander entwickelt^[1] und 1949 durch Norbert Wiener publiziert wurde.^[2] Es führt, gemessen an der mittleren quadratischen Abweichung, eine optimale Rauschunterdrückung durch.^[2]

Eigenschaften

Das Wiener-Filter wird durch die folgenden Eigenschaften beschrieben:^[3]

1. Voraussetzung: Das Signal und das additive Rauschen gleichen stochastischen Prozessen mit bekannter Spektralverteilung oder bekannter Autokorrelation und Kreuzkorrelation
2. Fehlerkriterium: Minimale mittlere quadratische Abweichung

Modelleigenschaften

Als Eingangssignal des Wiener-Filters wird ein Signal ${\displaystyle s\left(t\right)}$ gestört durch ein additives Rauschen ${\displaystyle n\left(t\right)}$ vorausgesetzt:

${\displaystyle y(t)=s(t)+n(t).}$

Das Ausgangssignal ${\displaystyle x\left(t\right)}$ ergibt sich durch die Faltung des Eingangssignals mit der Filterfunktion ${\displaystyle g\left(\tau \right)}$:

${\displaystyle x(t)=g(\tau )*y(t)=g(\tau )*\left(s(t)+n(t)\right).}$

Fehler ${\displaystyle e(t)=s\left(t+d\right)-x(t)}$ und quadratischer Fehler ${\displaystyle e^{2}(t)=s^{2}\left(t+d\right)-2s(t+d)x(t)+x^{2}(t)}$ ergeben sich aus der Abweichung des Ausgangssignals vom zeitversetzten Eingangssignal ${\displaystyle s\left(t+d\right).}$ Abhängig von dem Wert d des Zeitversatzes können unterschiedliche Problemstellungen betrachtet werden:

• Für ${\displaystyle \left.d>0\right.}$ : Prädiktion
• Für ${\displaystyle \left.d=0\right.}$ : Filterung
• Für ${\displaystyle \left.d<0\right.}$ : Glättung

Stellt man ${\displaystyle x\left(t\right)}$ als Faltungsintegral dar:

${\displaystyle x(t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }{g(\tau )\left[s(t-\tau )+n(t-\tau )\right]d\tau },}$

so ergibt sich der Erwartungswert des quadratischen Fehlers zu:

${\displaystyle E(e^{2})=R_{s}(0)-2\int \limits _{-\infty }^{\infty }{g(\tau )R_{y\,s}(\tau +d)d\tau }+\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\int \limits _{-\infty }^{\infty }{g(\tau )g(\theta )R_{y}(\tau -\theta )d\tau }d\theta },}$

wobei

• ${\displaystyle R_{s))$ die Autokorrelation der Funktion ${\displaystyle \left.s(t)\right.,}$
• ${\displaystyle R_{y))$ die Autokorrelation der Funktion ${\displaystyle \left.y(t)\right.,}$
• ${\displaystyle R_{y\,s))$ die Kreuzkorrelation der Funktionen ${\displaystyle \left.y(t)\right.}$ und ${\displaystyle \left.s(t)\right.}$ sind.

Wenn das Signal ${\displaystyle s\left(t\right)}$ und das Rauschen ${\displaystyle n\left(t\right)}$ unkorreliert sind (und damit die Kreuzkorrelation gleich Null ist), ergeben sich folgende Vereinfachungen

• ${\displaystyle R_{y\,s}=R_{s},}$
• ${\displaystyle R_{y}=R_{s}+R_{n}.}$

Das Ziel ist es nun, ${\displaystyle \left.E(e^{2})\right.}$ durch Bestimmung eines optimalen ${\displaystyle g\left(\tau \right)}$ zu minimieren.

Stationäre Lösungen

Das Wiener-Filter hat jeweils eine Lösung für den kausalen und den nicht-kausalen Fall.

Nicht-kausale Lösung

${\displaystyle G(s)={\frac {S_{x,s}(s)e^{\alpha s)){S_{x}(s))),}$

wobei ${\displaystyle S_{x,s}(s)}$ und ${\displaystyle S_{x}(s)}$ jeweils die Spektrale Leistungsdichte als Laplacetransformation der Kreuz- bzw. der Autokorrelation ${\displaystyle R_{x\,s))$ und ${\displaystyle R_{x))$ ist.

Unter der Voraussetzung, dass ${\displaystyle g\left(t\right)}$ optimal ist, vereinfacht sich die Gleichung, die das Minimum der mittleren quadratischen Abweichung (Minimum Mean-Square Error, MMSE) beschreibt, zu

${\displaystyle E(e^{2})=R_{s}(0)-\int \limits _{-\infty }^{\infty }{g(\tau )R_{x,s}(\tau +d)d\tau }.}$

Die Lösung ${\displaystyle g\left(t\right)}$ ist die inverse beidseitige Laplacetransformation von ${\displaystyle \left.G(s)\right.}$.

Kausale Lösung

${\displaystyle G(s)={\frac {H(s)}{S_{x}^{+}(s)))}$

Wobei

• ${\displaystyle \left.H(s)\right.}$ die positive Lösung der inversen Laplace-Transformation von ${\displaystyle {\frac {S_{x,s}(s)e^{\alpha s)){S_{x}^{-}(s)))}$,
• ${\displaystyle S_{x}^{+}(s)}$ die positive Lösung der inversen Laplace-Transformation von ${\displaystyle \left.S_{x}(s)\right.}$ und
• ${\displaystyle S_{x}^{-}(s)}$ die negative Lösung der inversen Laplace-Transformation von ${\displaystyle \left.S_{x}(s)\right.}$ ist.