- Ĉi tiu artikolo temas pri la Eŭlera beta-funkcio, konvencie skribata Β(x,y). Ekzistas ankaŭ aliaj beta-funkcioj en matematiko kaj fiziko.
La matematika beta-funkcio, alinome Eŭlera integralo de la unua speco, estas speciala funkcio, kiun oni difinas por kompleksaj nombroj x kaj y kun pozitiva reela parto:
![{\displaystyle \mathrm {\mathrm {B} } (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72079677c102d13255997ca503995071751bc415)
kiam
![{\displaystyle {\textrm {Re))(x),{\textrm {Re))(y)>0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5103b28af3430fe8d63e87b351910f495098f7f)
La beta-funkcion studis Leonhard Euler kaj Adrien-Marie Legendre, kaj la nomon al ĝi donis Jacques Binet. Ekzistas ankaŭ ĝeneraligo de la funkcio, t.n. nekompleta beta-funkcio kaj ties variaĵo reguligita nekompleta beta-funkcio.
Ecoj de la funkcio
- :
, t.e., la funkcio estas simetria.
- :
![{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\cdot \mathrm {B} (x+y,1-y)={\dfrac {\pi }{x\sin(\pi y))),\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa06dd8f13351a764a4e55b65c7bc6c2db10c8cc)
La funkcio povas esti prezentita ankaŭ per sekvaj formuloj
![{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40b51751e249b6100af540a95d503198913c05e0)
![{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=2\int \limits _{0}^{\pi /2}\sin ^{2x-1}\theta \cos ^{2y-1}\theta \,d\theta ,\qquad {\mathrm {R} e}(x)>0,\ {\mathrm {R} e}(y)>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b505ca5862d56a489500b398b12e8c1636a215f6)
![{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {t^{x-1)){(1+t)^{x+y))}\,dt,\qquad {\mathrm {R} e}(x)>0,\ {\mathrm {R} e}(y)>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/416ed258fe8619beed18663eeb8dcd85b54a8263)
![{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {1}{y))\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(y)_{n+1)){n!(x+n)))\quad \mathrm {kaj} \quad (x)_{n}=x(x-1)(x-2)\ldots (x-n+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c27424f4afed00cf35c4e02e9fa32d857ee559ce)
![{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {x+y}{xy))\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\dfrac {xy}{n(x+y+n)))\right)^{-1},\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/573f8b5dfceb5b154ce6b091a651bf9443b98cf9)
Derivaĵo
![{\displaystyle {\partial \over \partial x}\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y)\left({\Gamma '(x) \over \Gamma (x)}-{\Gamma '(x+y) \over \Gamma (x+y)}\right)=\mathrm {B} (x,y)(\psi (x)-\psi (x+y))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aabd5af6a03a77a3c49d6358c38280e0e66921a)
kie
estas la digamma-funkcio.
Aproksimaĵo
Oni povas aproksimi la beta-funkcion per la formulo de Stirling:
![{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\sim {\sqrt {2\pi )){\frac {x^{x-{\frac {1}{2))}y^{y-{\frac {1}{2)))){\left({x+y}\right)^{x+y-{\frac {1}{2))))))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d479b3cb15d517acadeb32ce045d447a9daa5161)
por grandaj: x kaj y.
Sed se x estas granda kaj y estas konstanta, tiam validas
![{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\sim \Gamma (y)\,x^{-y}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f62b080b80dfab1dcf71e91383ca2253bffc03d)
Nekompleta beta-funkcio
La nekompleta beta-funkcio, estas ĝeneraligo de la beta-funkcio kaj difinita kiel
![{\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)=\int _{0}^{x}t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt.\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/baf96febf9e4d2015d6aac8a68844b19b2fd9e3c)
Por x = 1, la nekompleta funkcio egalas al la kompleta funkcio.
Reguligita (senkompleta) beta-funkcio estas difinita kiel
![{\displaystyle I_{x}(a,b)={\dfrac {\mathrm {B} (x;\,a,b)}{\mathrm {B} (a,b))).\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/617920a32e0e3e903b4fa8781c15f04014104d6b)
Integrante la formulon, oni ricevas por entjeraj a kaj b:
![{\displaystyle I_{x}(a,b)=\sum _{j=a}^{a+b-1}{(a+b-1)! \over j!(a+b-1-j)!}x^{j}(1-x)^{a+b-1-j}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae9fe8c97e83ff7a4dd22c9607c121ee54cd2c7d)
Pri la reguligita beta-funkcio validas
![{\displaystyle I_{0}(a,b)=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e09e8c4cea315a8dcd79c2e1a834cd830a3aa60b)
![{\displaystyle I_{1}(a,b)=1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5467ac72209d5333631da260e0be1ea0636bb2e2)
![{\displaystyle I_{x}(a,b)=1-I_{1-x}(b,a)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b8299bb4d5e5934da1d9ba1faa1b806ad92def9)