Astmehulk ehk potentshulk on matemaatikas hulk, mis koosneb antud hulga ${\displaystyle S}$ kõigist alamhulkadest (kaasa arvatud tühi hulk ja hulk ${\displaystyle S}$ ise).^[1]

Zermelo-Fraenkeli aksiomaatikas postuleerib astmehulga olemasolu astmehulga aksioom, mille järgi igal hulgal on olemas astmehulk.^[2]

Hulga ${\displaystyle S}$ astmehulka tähistatakse kujul 𝒫(S), P(S), ${\displaystyle \mathbb {P} (S)}$, ${\displaystyle \wp (S)}$ või 2^S. Tähis 2^S tähistab õigupoolest hulka, mille elemendid on kõik funktsioonid hulgast ${\displaystyle S}$ mõnda kahe elemendiga hulka (näiteks ${\displaystyle \{0,1\))$); seda kasutatakse sellepärast, et hulga ${\displaystyle S}$ astmehulk on selle funktsioonide hulgaga võrdvõimas.^[1]

Näide

Kui ${\displaystyle S}$ on hulk ${\displaystyle \{x,y,z\))$, siis kõik ${\displaystyle S}$-i alamhulgad on:

• ${\displaystyle \{\))$ (märgitud ka kui ${\displaystyle \varnothing }$ või ${\displaystyle \emptyset }$, tühi hulk või nullhulk)
• ${\displaystyle \{x\))$
• ${\displaystyle \{y\))$
• ${\displaystyle \{z\))$
• ${\displaystyle \{x,y\))$
• ${\displaystyle \{x,z\))$
• ${\displaystyle \{y,z\))$
• ${\displaystyle \{x,y,z\))$

Seega on hulga ${\displaystyle S}$ astmehulk ${\displaystyle \{\{\},\{x\},\{y\},\{z\},\{x,y\},\{x,z\},\{y,z\},\{x,y,z\}\))$

Omadused

Kui ${\displaystyle S}$ on lõplik hulk võimsusega ${\displaystyle |S|=n}$ (hulga ${\displaystyle S}$ elementide arv on ${\displaystyle n}$), siis on hulga ${\displaystyle S}$ kõigi alamhulkade arv ${\displaystyle |\mathbb {P} (S)|=2^{n))$.^[1]

Cantori diagonaaltõestus näitab, et hulga astmehulk (olgu hulk lõpmatu või mitte) on alati suurema võimsusega kui hulk ise, mis tähendab, et astmehulk on alati suurem kui hulk ise.

Hulga ${\displaystyle S}$ astmehulk koos ühendi, ühisosa ja täiendi tehetega on algeline näide Boole'i algebrast.

Seos indikaatorfunktsiooniga

Indikaatorfunktsioon hulga ${\displaystyle S}$ alamhulga ${\displaystyle A}$ puhul on funktsioon hulgast ${\displaystyle S}$ kahe elemendiga hulka ${\displaystyle \{0,1\))$, mida tähistatakse kui ${\displaystyle I_{A}:S\rightarrow \{0,1\))$. Selline funktsioon näitab seda, kas hulga ${\displaystyle S}$ element kuulub alamhulka ${\displaystyle A}$ või mitte. Kui hulga ${\displaystyle S}$ element ${\displaystyle x}$ kuulub alamhulka ${\displaystyle A}$, siis ${\displaystyle I_{A}(x)=1}$, ning muul juhul ${\displaystyle 0}$. Iga hulga ${\displaystyle S}$ alamhulga ${\displaystyle A}$ puhul eksisteerib indikaatorfunktsioon ${\displaystyle I_{A))$. Kirjapilt ${\displaystyle X^{Y))$ tähistab hulgateoorias hulka, mis sisaldab kõiki funktsioone hulgast ${\displaystyle Y}$ hulka ${\displaystyle X}$. Hulk ${\displaystyle \{0,1\}^{S))$, mis koosneb seega igast funktsioonist hulgast ${\displaystyle S}$ hulka ${\displaystyle \{0,1\))$, koosneb kõigi hulga ${\displaystyle S}$ alamhulkade indikaatorfunktsioonidest. Teisisõnu on ${\displaystyle \{0,1\}^{S))$ vastavuses ehk bijektiivne astmehulgaga ${\displaystyle \mathbb {P} (S)}$. Kuna iga element hulgast ${\displaystyle S}$ vastab kas arvule ${\displaystyle 0}$ või ${\displaystyle 1}$ mistahes funktsiooni puhul hulgast ${\displaystyle \{0,1\}^{S))$, omab see funktsioonide hulk võimsust ${\displaystyle 2^{n))$. Kuna arv ${\displaystyle 2}$ võib olla hulgateoorias defineeritud kui ${\displaystyle \{0,1\))$ (näiteks von Neumanni ordinaalarvude puhul), kirjutatakse ${\displaystyle \mathbb {P} (S)}$ ka kui ${\displaystyle 2^{S))$. Seega on samuti tõene, et${\displaystyle |2^{S}|=2^{|S|))$.

Viited

Kirjandus

• Devlin, Keith J. (1979). Fundamentals of contemporary set theory. Universitext. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90441-7. Zbl 0407.04003.
• Halmos, Paul R. (1960). Naive set theory. The University Series in Undergraduate Mathematics. van Nostrand Company. Zbl 0087.04403.
• Mac Lane, Saunders; Moerdijk, Ieke (1992), Sheaves in Geometry and Logic, Springer-Verlag, ISBN 0-387-97710-4
• Puntambekar, A. A. (2007). Theory Of Automata And Formal Languages. Technical Publications. ISBN 978-81-8431-193-8.
• Weisstein, Eric W. "Power Set". mathworld.wolfram.com (inglise). Originaali arhiivikoopia seisuga 6. aprill 2023. Vaadatud 5. septembril 2020.