Gammafunktsioon ehk Euleri gammafunktsioon ehk teist liiki Euleri integraal on üks erifunktsioon matemaatilises analüüsis ja kompleksmuutuja funktsioonide teoorias. Gammafunktsiooni võib positiivse reaalarvu jaoks defineerida integraalina
See on transtsendentne analüütiline funktsioon ja rahuldab funktsionaalvõrrandit
mida saab näidata ositi integreerimise abil.
Et , siis järeldub sellest kõigi positiivsete täisarvude korral
seega interpoleerib üht faktoriaali rööplüket.
Gammafunktsiooni saab üheselt jätkata meromorfseks funktsiooniks Gaussi tasandile . Seal ei ole tal nullkohti ega mittepositiivsetel täisarvudel lihtsaid poolusi, seega on täisfunktsioon.
Gammafunktsioon on aluseks gammajaotuseks nimetatavale tõenäosusjaotusele.
Funktsiooni otsese definitsiooni kõigi argumentide jaoks annab gammafunktsiooni korrutisesitus Gaußi järgi,[1][2]
mille positiivsete reaalarvude jaoks andis juba Euler 1729.[3] Sellest tuletatud on esitus Weierstraßi korrutisena:[4]
Euleri-Mascheroni konstandiga . Teist korrutist nimetatakse tavaliselt Weierstraßi esituseks, ent Karl Weierstraß kasutas ainult esimest.[5]
Sissejuhatuses toodud integraalesitus pärineb samuti Eulerilt (1729),[6] ta kehtib üldisemalt positiivse reaalosaga kompleksarvude puhul:
Euleri integraalesitusel on üks ilus variant[7] juhtumil, kus ning :
Sellest esitusest saab näiteks elegantselt tuletada Fresneli integraalvalemid.
Ernst Eduard Kummer esitas 1847 logaritmilise gammafunktsiooni arenduse Fourier' reaks:[8]
seda nimetatakse ka Kummeri reaks. Juba 1846 leidis Carl Johan Malmstén sarnase rea:[9]
Gammafunktsiooni varaseimaks definitsiooniks peetakse Daniel Bernoulli kirjas Christian Goldbachile 6. oktoobrist 1729 antud definitsiooni:[10][11]
Mõned päevad hiljem, 24./13. oktoobril 1729, kirjeldas Euler ka kirjas Goldbachile seda sarnast, pisut lihtsamat valemit,[3]
mille Gauß 1812 taasavastas üldisemal, kompleksarvude juhtumil[2] (nimetatud kirjad avaldati alles 1843). 8. jaanuaril 1730 kirjeldas Euler kirjas Goldbachile järgmist integraali faktoriaali interpoleerimiseks,[12] mille ta oli 28. novembril 1729 ette kandnud Venemaa Teaduste Akadeemiale:[6]
Seda definitsiooni eelistas Euler hiljem kasutada,[13] ta läheb asendusega üle kujule .
Euler avastas selle integraali, uurides üht mehaanika probleemi, milles vaadeldakse osakese kiirendust.
Adrien-Marie Legendre võttis 1809 funktsiooni sümbolina kasutusele kreeka suurtähe (gamma).[14][15] Gauß kasutas 1812 funktsiooni sümbolina tähte (pii) nõnda, et ning seega ka mittenegatiivse täisarvulise n-i korral. See tähistus ei läinud käibele.