Notation | |
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Réciproque |
si |
Dérivée | |
Primitives |
Ensemble de définition | |
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Ensemble image |
si |
Valeur en zéro |
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Zéros | |
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Points fixes |
si |
En analyse, une fonction affine est une fonction obtenue par addition et multiplication de la variable par des constantes. Elle peut donc s'écrire sous la forme :
où les paramètres a et b ne dépendent pas de x.
Lorsque la fonction est définie sur l'ensemble des réels, elle est représentée par une droite, dont a est la pente et b l'ordonnée à l'origine.
Un cas particulier des fonctions affines est lorsque l'ordonnée à l'origine est nulle, on obtient alors une fonction linéaire.
Les fonctions constantes et linéaires sont des exemples de fonctions affines. Les fonctions affines sont elles-mêmes des exemples de fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à 1.
La notion de fonction affine est généralisée en géométrie par celle d'application affine.
Remarque : dans certaines branches des mathématiques comme la statistique[1], une telle fonction est appelée, à l'image du terme anglophone linear function et du terme allemand Lineare Funktion, une fonction linéaire en référence au fait que son graphe est une ligne droite.
Une fonction affine est caractérisée par le fait que son taux d'accroissement est constant. C'est-à-dire qu'il y a proportionnalité entre les accroissement de x et les accroissement de f(x). En effet, si x1 et x2 sont deux réels, l'accroissement f(x2) – f(x1) est proportionnel à x2 – x1, comme le donne l’égalité :
Le coefficient de proportionnalité est a.
Cette propriété donne alors un outil pour déterminer le coefficient a :
On en déduit : (la dérivée d'une fonction affine est une fonction constante dont la valeur est le coefficient multiplicateur – ou coefficient de proportionnalité – de la fonction affine).
L'ordonnée à l'origine b peut se calculer de la manière suivante :
Supposons a, b réels et a non nul.
La représentation graphique d'une fonction affine définie sur l'ensemble des réels est une droite dont l'équation est
La droite coupe l'axe des ordonnées pour y = b (d'où le nom d'ordonnée à l'origine). Lorsque b est nul, la droite passe par l'origine du repère cartésien.
La droite a pour « pente » ou « coefficient directeur » le réel a. Si a > 0, la fonction affine est croissante (la droite « monte ») et si a < 0, elle est décroissante (la droite « descend »). Par un processus analogue à celui vu pour la fonction linéaire, un déplacement d'un carreau en abscisse induit un déplacement de a carreaux en ordonnée, si le repère est orthonormé.
Si M(x1, y1) et N(x2, y2) sont deux points distincts appartenant à la droite d'équation y = ax + b, alors :
Si a = 0 alors la fonction est constante et si b = 0 alors la fonction est linéaire.