Une forme symplectique est un objet mathématique à la base de la géométrie symplectique et intervenant - avec des caractéristiques différentes - dans les espaces vectoriels ; dans les fibrés vectoriels ; sur les variétés différentielles.
Espace vectoriel symplectique
En algèbre linéaire, une forme symplectique sur un espace vectoriel
est une forme bilinéaire non dégénérée alternée
. Un espace vectoriel muni d'une forme symplectique est nommé espace vectoriel symplectique.
Exemples :
où
, pour
la base duale canonique de
, est un espace vectoriel symplectique.
- Si
est un espace vectoriel réel et
alors
est un espace vectoriel symplectique pour
où
et ![{\displaystyle \alpha _{2},\alpha _{2}\in W^{*))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7478d969a9cc3385be592e55cb20cc69e1ecea05)
Fibré symplectique
En géométrie différentielle, une forme symplectique sur un fibré vectoriel réel
est une section globale lisse
du fibré
qui est non dégénérée fibre par fibre. Un fibré vectoriel muni d'une forme symplectique est nommé fibré vectoriel symplectique.
Remarques :
- Une forme symplectique de fibré symplectique est une famille lisse
de formes symplectiques d'espaces vectoriels dont les espaces vectoriels en question sont les fibres
du fibré
.
Exemples :
- Si
est un fibré vectoriel réel et
alors
, où
,
est un fibré vectoriel symplectique sur
.
Ce dernier exemple montre la naturalité des formes symplectiques. Contrairement aux métriques riemanniennes, leur existence est mal comprise, mais au moins, elles viennent naturellement.
Variété symplectique
Toujours en géométrie différentielle, une forme symplectique sur une variété différentielle
est une 2-forme différentielle
qui est :
- fermée (au sens de la différentielle extérieure), i.e.
;
- non dégénérée (fibre par fibre), i.e. pour tout
non nul,
est non nul.
Une variété différentielle munie d'une forme symplectique est nommé variété symplectique.
Remarques :
- La forme symplectique
d'une variété symplectique
est aussi une forme symplectique de fibré vectoriel dont le fibré en question est le fibré tangent
de la variété différentielle
. Toutefois, ici, on ajoute la condition de fermeture
. Lorsque
est une forme symplectique pour le fibré
mais qu'elle ne vérifie pas forcément la condition de fermeture
, la paire
est dit être une variété presque-symplectique.
- La condition d'être fermée d'une forme symplectique
d'une variété symplectique
implique, par le théorème de Darboux, qu'autour de tout point
de
il existe un système de coordonnées locales
tel que
s'y écrive de manière canonique
.
- L'existence des formes symplectiques sur les variétés différentielles est une question ouverte.
Exemples :
- Si
est une variété symplectique de dimension
, et que
est une sous-variété différentielle de
, alors :
- Le fibré tangent de
se restreint en un fibré de rang
sur
, noté
. Et
est un fibré symplectique sur
.
- Si en tout point
de
, la forme bilineaire
est non dégénérée en restriction à l'espace tangent
, alors
est une variété symplectique.