La fraction continue de Rogers-Ramanujan est une fraction continue généralisée découverte par Leonard James Rogers (en) en 1894 et indépendamment par Srinivasa Ramanujan vers 1910, qui est étroitement reliée aux identités de Rogers-Ramanujan ; il est possible d'en donner une forme explicite pour de nombreuses valeurs de son argument.

Étant données les fonctions G(q) et H(q) apparaissant dans les identités de Rogers-Ramanujan,

${\displaystyle {\begin{aligned}G(q)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2))}{(1-q)(1-q^{2})\cdots (1-q^{n})))=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2))}{(q;q)_{n))}={\frac {1}{(q;q^{5})_{\infty }(q^{4};q^{5})_{\infty ))}\\&=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(1-q^{5n-1})(1-q^{5n-4})))\\&={\sqrt[{60}]{qj))\,_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {1}{60)),{\tfrac {19}{60));{\tfrac {4}{5));{\tfrac {1728}{j))\right)\\&={\sqrt[{60}]{q\left(j-1728\right)))\,_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {1}{60)),{\tfrac {29}{60));{\tfrac {4}{5));-{\tfrac {1728}{j-1728))\right)\\&=1+q+q^{2}+q^{3}+2q^{4}+2q^{5}+3q^{6}+\cdots \end{aligned))}$

et

${\displaystyle {\begin{aligned}H(q)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}+n)){(1-q)(1-q^{2})\cdots (1-q^{n})))=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}+n)){(q;q)_{n))}={\frac {1}{(q^{2};q^{5})_{\infty }(q^{3};q^{5})_{\infty ))}\\&=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(1-q^{5n-2})(1-q^{5n-3})))\\&={\frac {1}{\sqrt[{60}]{q^{11}j^{11))))\,_{2}F_{1}\left({\tfrac {11}{60)),{\tfrac {31}{60));{\tfrac {6}{5));{\tfrac {1728}{j))\right)\\&={\frac {1}{\sqrt[{60}]{q^{11}\left(j-1728\right)^{11))))\,_{2}F_{1}\left({\tfrac {11}{60)),{\tfrac {41}{60));{\tfrac {6}{5));-{\tfrac {1728}{j-1728))\right)\\&=1+q^{2}+q^{3}+q^{4}+q^{5}+2q^{6}+2q^{7}+\cdots \end{aligned))}$

où ${\displaystyle (a;q)_{\infty ))$ représente le q-symbole de Pochhammer infini, j est le j-invariant, et ₂F₁ est la fonction hypergéométrique (les coefficients des développements en séries entières forment les suites de l'OEIS  A003114 et  A003106, respectivement), la fraction continue de Rogers-Ramanujan est

${\displaystyle {\begin{aligned}R(q)&={\frac {q^{\frac {11}{60))H(q)}{q^{-{\frac {1}{60))}G(q)))=q^{\frac {1}{5))\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(1-q^{5n-1})(1-q^{5n-4})}{(1-q^{5n-2})(1-q^{5n-3})))\\&={\cfrac {q^{1/5)){1+{\cfrac {q}{1+{\cfrac {q^{2)){1+{\cfrac {q^{3)){1+\ddots ))))))))\end{aligned))}$

Si ${\displaystyle q=e^{2\pi {\rm {i))\tau ))$, alors ${\displaystyle q^{-{\frac {1}{60))}G(q)}$ et ${\displaystyle q^{\frac {11}{60))H(q)}$, ainsi que leur quotient ${\displaystyle R(q)}$, sont des fonctions modulaires de ${\displaystyle \tau }$. Comme elles ont des coefficients entiers, la théorie de la multiplication complexe implique que leurs valeurs, lorsque ${\displaystyle \tau }$ est de la forme ${\displaystyle i{\sqrt {p/q))}$, sont des nombres algébriques qui peuvent être calculés explicitement.

${\displaystyle R{\big (}e^{-2\pi }{\big )}={\cfrac {e^{-{\frac {2\pi }{5)))){1+{\cfrac {e^{-2\pi )){1+{\cfrac {e^{-4\pi )){1+\ddots ))))))=((\sqrt {5+{\sqrt {5)) \over 2))-\phi }={\sqrt {\phi +2))-\phi }$

${\displaystyle R{\big (}e^{-2{\sqrt {5))\pi }{\big )}={\cfrac {e^{-{\frac {2\pi }{\sqrt {5))))}{1+{\cfrac {e^{-2\pi {\sqrt {5)))){1+{\cfrac {e^{-4\pi {\sqrt {5)))){1+\ddots ))))))={\frac {\sqrt {5)){1+{\big (}5^{3/4}(\phi -1)^{5/2}-1{\big )}^{1/5))}-{\phi ))$

où ${\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5))}{2))}$ est le nombre d'or (ces formules figuraient dans la première lettre que Ramanujan avait envoyée à Hardy, et faisaient partie de celles qui avaient stupéfié ce dernier^[1]).

${\displaystyle R(q)}$ peut s'exprimer à l'aide de la fonction êta de Dedekind, une forme modulaire de poids 1/2, car on a (en posant ${\displaystyle q={\rm {e))^{2{\rm {i))\pi \tau ))$)^[2] :

${\displaystyle {\frac {1}{R(q)))-R(q)={\frac {\eta ({\frac {\tau }{5)))}{\eta (5\tau )))+1}$

${\displaystyle {\frac {1}{R^{5}(q)))-R^{5}(q)=\left[{\frac {\eta (\tau )}{\eta (5\tau )))\right]^{6}+11}$((|))

Parmi les nombreuses relations vérifiées par le j-invariant, on a

${\displaystyle j(\tau )={\frac {(x^{2}+10x+5)^{3)){x))}$

où

${\displaystyle x=\left[{\frac ((\sqrt {5))\,\eta (5\tau )}{\eta (\tau )))\right]^{6))$

Éliminant le quotient, on peut exprimer j(τ) en termes de ${\displaystyle r=R(q)}$ :

${\displaystyle {\begin{aligned}&j(\tau )=-{\frac {(r^{20}-228r^{15}+494r^{10}+228r^{5}+1)^{3)){r^{5}(r^{10}+11r^{5}-1)^{5))}\\[6pt]&j(\tau )-1728=-{\frac {(r^{30}+522r^{25}-10005r^{20}-10005r^{10}-522r^{5}+1)^{2)){r^{5}(r^{10}+11r^{5}-1)^{5))}\end{aligned))}$

où le numérateur et le dénominateur sont des invariants polynomiaux de l'icosaèdre. La relation modulaire entre ${\displaystyle R(q)}$ et ${\displaystyle R(q^{5})}$ a pour conséquence

${\displaystyle j(5\tau )=-{\frac {(r^{20}+12r^{15}+14r^{10}-12r^{5}+1)^{3)){r^{25}(r^{10}+11r^{5}-1)))}$

Soit ${\displaystyle z=r^{5}-{\frac {1}{r^{5))))$ ; alors

${\displaystyle j(5\tau )=-{\frac {\left(z^{2}+12z+16\right)^{3)){z+11))}$

où

${\displaystyle {\begin{aligned}&z_{\infty }=-\left[{\frac ((\sqrt {5))\,\eta (25\tau )}{\eta (5\tau )))\right]^{6}-11,\ z_{0}=-\left[{\frac {\eta (\tau )}{\eta (5\tau )))\right]^{6}-11,\ z_{1}=\left[{\frac {\eta ({\frac {5\tau +2}{5)))}{\eta (5\tau )))\right]^{6}-11,\\[6pt]&z_{2}=-\left[{\frac {\eta ({\frac {5\tau +4}{5)))}{\eta (5\tau )))\right]^{6}-11,\ z_{3}=\left[{\frac {\eta ({\frac {5\tau +6}{5)))}{\eta (5\tau )))\right]^{6}-11,\ z_{4}=-\left[{\frac {\eta ({\frac {5\tau +8}{5)))}{\eta (5\tau )))\right]^{6}-11\end{aligned))}$

ce qui est le j-invariant de la courbe elliptique ${\displaystyle y^{2}+(1+r^{5})xy+r^{5}y=x^{3}+r^{5}x^{2))$, paramétrée par les points réguliers de la courbe modulaire ${\displaystyle X_{1}(5)}$.

On pose désormais systématiquement ${\displaystyle r(\tau )=R(q)}$, avec q = e^2πiτ. Là où d'autres fonctions modulaires, par exemple le j-invariant, vérifient :

${\displaystyle j(-{\tfrac {1}{\tau )))=j(\tau )}$

et qu'on a pour la fonction êta de Dedekind :

${\displaystyle \eta (-{\tfrac {1}{\tau )))={\sqrt {-i\tau ))\,\eta (\tau )}$

l'équation fonctionnelle de la fraction continue de Rogers–Ramanujan met en jeu^[3] le nombre d'or ${\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5))}{2))}$ :

${\displaystyle r(-{\tfrac {1}{\tau )))={\frac {1-\phi \,r(\tau )}{\phi +r(\tau )))}$.

On a d'autre part ${\displaystyle r({\tfrac {7+i}{10)))=i}$.

Il y a des relations modulaires entre ${\displaystyle R(q)}$ et ${\displaystyle R(q^{n})}$, particulièrement élégantes pour certaines petites valeurs premières de n^[4] :

Soit ${\displaystyle u=R(q)}$ et ${\displaystyle v=R(q^{n})}$ ; alors :

Pour ${\displaystyle n=2}$, ${\displaystyle v-u^{2}=(v+u^{2})uv^{2}.}$

Pour ${\displaystyle n=3}$, ${\displaystyle (v-u^{3})(1+uv^{3})=3u^{2}v^{2}.}$

Pour ${\displaystyle n=5}$, ${\displaystyle (v^{4}-3v^{3}+4v^{2}-2v+1)v=(v^{4}+2v^{3}+4v^{2}+3v+1)u^{5}.}$

Pour ${\displaystyle n=11}$, ${\displaystyle uv(u^{10}+11u^{5}-1)(v^{10}+11v^{5}-1)=(u-v)^{12}.}$

De plus, on peut remarquer que les facteurs apparaissant pour ${\displaystyle n=5}$ se retrouvent dans le cas ${\displaystyle n=11}$, puisque :

${\displaystyle v^{10}+11v^{5}-1=(v^{2}+v-1)(v^{4}-3v^{3}+4v^{2}-2v+1)(v^{4}+2v^{3}+4v^{2}+3v+1).}$

Ramanujan a découvert beaucoup d'autres propriétés intéressantes de R(q)^[5]. Posant ${\displaystyle u=R(q^{a})}$, ${\displaystyle v=R(q^{b})}$, et ${\displaystyle \phi }$ le nombre d'or,

si ${\displaystyle ab=4\pi ^{2))$, alors ${\displaystyle (u+\phi )(v+\phi )={\sqrt {5))\,\phi .}$

si ${\displaystyle 5ab=4\pi ^{2))$, alors ${\displaystyle (u^{5}+\phi ^{5})(v^{5}+\phi ^{5})=5{\sqrt {5))\,\phi ^{5}.}$

Les puissances de R(q) vérifient également des relations inattendues. Ainsi,

${\displaystyle R^{3}(q)={\frac {\alpha }{\beta ))}$

où

${\displaystyle \alpha =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{2n)){1-q^{5n+2))}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{3n+1)){1-q^{5n+3))))$

${\displaystyle \beta =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n)){1-q^{5n+1))}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{4n+3)){1-q^{5n+4))))$

Posant ${\displaystyle w=R(q)R^{2}(q^{2})}$, on a

${\displaystyle R^{5}(q)=w\left({\frac {1-w}{1+w))\right)^{2},\;\;R^{5}(q^{2})=w^{2}\left({\frac {1+w}{1-w))\right)}$

• (en) L. J. Rogers, « Second Memoir on the Expansion of certain Infinite Products », Proc. London Math. Soc., vol. s1-25, n^o 1,‎ 1894, p. 318–343 (DOI 10.1112/plms/s1-25.1.318)
• (en) B. C. Berndt, H. H. Chan, S. S. Huang, S. Y. Kang, J. Sohn et S. H. Son, « The Rogers–Ramanujan continued fraction », Journal of Computational and Applied Mathematics, vol. 105,‎ 1999, p. 9 (DOI 10.1016/S0377-0427(99)00033-3, lire en ligne)

• (en) Eric W. Weisstein, « Identités de Rogers-Ramanujan », sur MathWorld
• (en) Eric W. Weisstein, « Fraction continue de Rogers-Ramanujan », sur MathWorld

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