Propriétés élémentaires
- Pour toutes parties et de ,Plus généralement, pour toute famille de parties de ,
- Pour toutes parties et de ,et cette inclusion peut être stricte, sauf si est injective[2].
On peut même prouver que est injective si et seulement si pour toutes parties et de , on a .
Plus généralement, pour toute famille non vide de parties de ,
.- Toute partie de contient l'image directe de son image réciproque ; plus précisément[2] :En particulier, si est surjective alors .
- On peut même prouver que est surjective si et seulement si pour toute partie de on a .
- (Une démonstration est proposée dans l'article Surjection.)
- Toute partie de est contenue dans l'image réciproque de son image directe :et cette inclusion peut être stricte, sauf si est injective[2]. On peut même prouver que est injective si et seulement si pour toutes parties de , on a .
- Si l'on considère de plus une application , alors l'image directe d'une partie de par la composée est :