1. et 3. sont clairement équivalents.
La propriété 2. signifie que M définit sur ℝn une forme quadratique positive, la propriété 3. que sur ℝn, vu comme espace euclidien avec le produit scalaire , M définit un endomorphisme autoadjoint positif.
L'équivalence entre 2. et 3. vient de cette double interprétation, à la lumière de la réduction de Gauss et du théorème spectral. Puisque toute matrice symétrique réelle est diagonalisable (cf. Décomposition spectrale), il existe une matrice orthogonale P (dont les colonnes sont des vecteurs propres de M) et une matrice diagonale D (dont les coefficients diagonaux sont les valeurs propres de M) telles que M = PDPT.
Si 2. est vraie, sachant que les valeurs propres d'une matrice symétrique réelle sont réelles, on voit en appliquant 2. aux vecteurs propres que 3. est vraie.
Puisque P−1 = PT, la matrice M est aussi congrue à la matrice diagonale D. Donc réciproquement, si 3. est vraie alors 2. est vraie.
Si 4. est vraie (M = NTN), alors , donc 2. est vraie.
Inversement, si 2. (donc 3.) est vraie, on peut en déduire une matrice réelle N telle que M = NTN (la matrice N n'est pas unique ; elle l'est si l'on impose qu'elle soit elle-même positive, cf. § « Propriétés » ci-dessous) : il suffit de définir la matrice Δ comme étant la matrice diagonale dont les termes diagonaux sont les racines carrées de ceux de D, et de poser N = ΔPT, car alors NTN = M.
Si l'on veut une matrice symétrique positive, il suffit de poser plutôt N = PΔPT.
Si 4. (ou 2., ou 3.) est vraie pour M alors 4. est aussi vraie pour les sous-matrices mineures principales de M, donc 5. est vraie.
Réciproquement[3], supposons 5. vraie et démontrons 2.. Pour tout p de 1 à n, tous les mineurs principaux de la p-ième sous-matrice principale dominante Mp sont, par hypothèse, positifs ou nuls donc (d'après l'expression du polynôme caractéristique en fonction de ceux-ci) det(εIp + Mp) > 0 pour tout ε > 0. D'après le critère de Sylvester, εIn + M est donc (définie) positive, si bien qu'elle vérifie 2. On en déduit que M aussi, en faisant tendre ε vers 0.