Triangle de Rascal présenté sous forme pyramidale. En mathématiques élémentaires , le triangle de Rascal est un tableau triangulaire de nombres analogue au triangle de Pascal , dont les quatre premières lignes sont identiques à celles de ce dernier, mais dont la construction diffère.
Présenté sous forme pyramidale, le triangle présente des "1" sur les côtés, et chaque terme intérieur est défini à partir des termes
a
,
b
{\displaystyle a,b}
voisins de la ligne précédente et du terme
c
{\displaystyle c}
de la ligne antéprécédente situé au dessus, par la formule
(
a
b
+
1
)
/
c
{\displaystyle (ab+1)/c}
.
Ce triangle forme la suite A077028 de l'OEIS .
Notant, pour
0
⩽
k
⩽
n
{\displaystyle 0\leqslant k\leqslant n}
,
R
(
n
,
k
)
{\displaystyle R(n,k)}
le terme de la ligne d'indice
n
{\displaystyle n}
et de la colonne d'indice
k
{\displaystyle k}
, la définition par récurrence s'écrit :
R
(
n
,
0
)
=
R
(
n
,
n
)
=
1
{\displaystyle R(n,0)=R(n,n)=1}
,
R
(
n
,
k
)
=
R
(
n
−
1
,
k
−
1
)
.
R
(
n
−
1
,
k
)
+
1
R
(
n
−
2
,
k
−
1
)
{\displaystyle R(n,k)={\frac {R(n-1,k-1).R(n-1,k)+1}{R(n-2,k-1)))}
pour
1
⩽
k
⩽
n
−
1
{\displaystyle 1\leqslant k\leqslant n-1}
.
D'où la construction :↵
k
0
1
2
3
4
5
n
0
1
1
1
1
2
1
2
1
3
1
3
3
1
4
1
4
5
4
1
5
1
5
7
7
5
1
{\displaystyle {\begin{array}{cc|cccccc}&k&0&1&2&3&4&5\\n&&\\\hline 0&&1\\1&&1&1\\2&&1&2&1\\3&&1&3&3&1\\4&&1&4&5&4&1\\5&&1&5&7&7&5&1\end{array))}
On a pour
0
⩽
k
⩽
n
{\displaystyle 0\leqslant k\leqslant n}
,
R
(
n
,
k
)
=
k
(
n
−
k
)
+
1
{\displaystyle R(n,k)=k(n-k)+1}
, ce qui prouve que
R
(
n
,
k
)
{\displaystyle R(n,k)}
est entier, ainsi que la formule de symétrie,
R
(
n
,
k
)
=
R
(
n
,
n
−
k
)
{\displaystyle R(n,k)=R(n,n-k)}
.
Autrement formulé, pour
0
⩽
i
,
j
{\displaystyle 0\leqslant i,j}
, on a :
R
(
i
+
j
,
i
)
=
R
(
i
+
j
,
j
)
=
i
j
+
1
{\displaystyle R(i+j,i)=R(i+j,j)=ij+1}
.
Ceci vient de la relation :
(
(
i
−
1
)
j
+
1
)
(
i
(
j
−
1
)
+
1
)
+
1
=
(
i
j
+
1
)
(
(
i
−
1
)
(
j
−
1
)
+
1
)
{\displaystyle ((i-1)j+1)(i(j-1)+1)+1=(ij+1)((i-1)(j-1)+1)}
.
Le triangle de Rascal sous forme pyramidale n'est donc autre que la table de multiplication dont tous les termes ont été augmentés de 1, et tournée de 45° :
j
0
1
2
3
4
5
i
0
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
2
1
3
5
7
9
11
3
1
4
7
10
13
16
4
1
5
9
13
17
21
5
1
6
11
10
21
26
{\displaystyle {\begin{array}{cc|cccccc}&j&0&1&2&3&4&5\\i&&\\\hline 0&&1&1&1&1&1&1\\1&&1&2&3&4&5&6\\2&&1&3&5&7&9&11\\3&&1&4&7&10&13&16\\4&&1&5&9&13&17&21\\5&&1&6&11&10&21&26\end{array))}
La somme des termes de la ligne d'indice
n
{\displaystyle n}
est égale à un nombre gâteau :
∑
k
=
0
n
R
(
n
,
k
)
=
∑
k
=
0
n
(
k
(
n
−
k
)
+
1
)
=
(
n
+
1
)
(
n
2
−
n
+
6
)
6
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}R(n,k)=\sum _{k=0}^{n}(k(n-k)+1)={\frac {(n+1)(n^{2}-n+6)}{6))}
; les quatre premiers termes sont les quatre premières puissances de 2.
La somme alternée d'une ligne est évidemment nulle pour
n
{\displaystyle n}
impair pour raison de symétrie, mais pour
n
{\displaystyle n}
pair, on a :
∑
k
=
0
n
(
−
1
)
k
R
(
n
,
k
)
=
−
n
−
2
2
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}R(n,k)=-{\frac {n-2}{2))}
.
Ce triangle a été trouvé et nommé par des collégiens en 2010 suite à la question de leur professeur de poursuivre les quatre premières lignes du triangle de Pascal, qu'ils ont poursuivi avec la formule ci-dessus, et non la relation de Pascal classique[ 1] .
Il avait déjà été proposé par Clark Kimberling en 2002 dans l'OEIS .
↑ (en) Anggoro, A.; Liu, E.; Tulloch, A., « The Rascal Triangle », College Math. J. , vol. 41, 2010 , p. 393-395 (lire en ligne )