de sorte que, dans le vide, la définition précédente du vecteur de Poynting est équivalente à[13] :
.
Par définition du produit vectoriel[14], le vecteur de Poynting est un vecteur axial, orthogonal aux deux vecteurs et , tel que les trois vecteurs , et forment un trièdre direct ou un trièdre rétrograde selon l'orientation de l'espace ; et la norme du vecteur de Poynting est égale au produit des normes des deux vecteurs et du sinus de leur angle :
avec le temps, la densité volumique d'énergie du champ électromagnétique, le flux d'énergie surfacique sortant, et le terme source : la densité volumique d'énergie gagnée ou perdue.
À partir des équations de Maxwell dans le vide, on tire l'expression du vecteur de Poynting dans le vide :
Dans un matériau linéaire, de perméabilité magnétiqueμ et dans lequel on peut négliger la dispersion et les pertes, il convient de prendre en compte l'excitation magnétique définie par la relation . On obtient alors une expression plus générale du vecteur de Poynting[15] :
.
Dans un milieu linéaire dispersif avec pertes, on conserve l'expression du vecteur de Poynting , mais le théorème de Poynting ne s'exprime plus avec et comporte des termes supplémentaires de dissipation[16].
On vérifie que le premier moment de qui représente la densité de flux retrouve le flux de Poynting :
Puissance électromagnétique traversant une surface
Une conséquence du théorème de Poynting est que la puissance électromagnétique traversant une surface S est donnée par le flux du vecteur de Poynting à travers cette surface.
Équation de l'énergie d'un champ électromagnétique
On définit la quantité d'énergie quittant un volume pendant un temps :
Soit , vecteur flux d'énergie du champ. D'après le théorème de Green-Ostrogradsky (Théorème de flux-divergence), on peut dire que le flux sortant du volume V est :
avec un vecteur unitaire normal à la surface du volume V, orienté de l'intérieur vers l'extérieur.
On peut expliciter la perte d'énergie du volume de la manière suivante :
pertes dues aux « frottements » des charges mobiles (voir loi Ohm locale, effet Joule) ;
pertes dues au rayonnement électromagnétique sortant du volume.
On peut donc dire que :
+ travail fourni par le champ à la matière
On calcule ce travail :
.
Pour une particule :
(on observe facilement que la force magnétique ne travaille pas).
On calcule maintenant la puissance fournie par le champ. La puissance reçue par une particule est :
La densité particulaire est notée , en conséquence :
or
donc
Cette perte de puissance est égale à la perte d'énergie du champ par unité de temps et de volume donc on écrit finalement :
Donc finalement on a :
qui correspond à l'équation de l'énergie du champ électromagnétique.
[Heaviside 1885] (en) Oliver Heaviside, « Electromagnetic induction and its propagation : on the transmission of energy through wires by the electric current », The Electrician, vol. 14, , p. 178-181 (lire en ligne).
[Rabinowitz 2015] (en) Mario Rabinowitz, « General derivation of mass-energy relation without electrodynamics or Einstein's postulates », Journal of Modern Physics, vol. 6, no 9, , p. 1243-1248, article no 58717 (DOI10.4236/jmp.2015.69129, résumé, lire en ligne [PDF]).
[OI] (en) « Poynting vector » [« vecteur de Poynting »], notice d'autorité no 20110803100341357 de l'Oxford Index (OI), dans la base de données Oxford Reference de l'Oxford University Press (OUP).