In analisi matematica, un'approssimazione lineare è un tipo di approssimazione di una funzione a una retta o comunque a una funzione affine (la traslata di una funzione lineare). Questo procedimento è anche detto linearizzazione o sviluppo al primo ordine della funzione.
Le approssimazioni lineari sono usate correntemente in molte aree della matematica e della fisica, perché consentono, sotto ipotesi opportune, di semplificare problemi complessi (e talvolta non altrimenti risolubili per via analitica).
Sia una funzione reale di variabile reale derivabile in . Possiamo allora scrivere il polinomio di Taylor della funzione centrato in , arrestato al primo ordine:
cioè che il resto trascurato durante l'approssimazione è un infinitesimo di ordine superiore al primo. Possiamo scrivere l'approssimazione come:
che è l'equazione di una retta; essa viene chiamata retta tangente al grafico di nel punto di ascissa . Questa è la retta che approssima linearmente attorno ad , ed è definita solo per funzioni derivabili almeno una volta in tale punto; una funzione derivabile in un punto, infatti, può essere "vista a ingrandimenti sempre maggiori" fino a essere indistinguibile, negli immediati paraggi del punto, da una retta: questa è la retta tangente.
Questo prodotto scalare definisce un iperpiano-dimensionale tangente al grafico (immerso nell'-spazio) della funzione nel punto ; questo iperpiano (che nel caso è proprio la retta tangente) approssima linearmente la funzione attorno ad , e la funzione approssimante:
differenziabili una volta in aperto, è possibile approssimare linearmente la funzione componente per componente, ottenendo (per un ):
per ogni da 1 a ; usando la notazione vettoriale, si può scrivere:
dove:
è la matrice jacobiana della funzione calcolata nel punto , la quale contiene tutti i gradienti delle componenti di ; naturalmente, se , si ritrova la formula della retta tangente.