In matematica si chiamano equazioni algebriche o polinomiali quelle equazioni equivalenti (o riconducibili tramite opportune trasformazioni) ad un polinomio uguagliato a zero. Il grado di tale polinomio è anche il grado dell'equazione.

Descrizione

Un'equazione polinomiale di grado ${\displaystyle n}$ in una incognita si può esprimere nella forma:

${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}=0,}$

dove gli ${\displaystyle a_{i))$ sono numeri reali (o in generale complessi) e ${\displaystyle x}$ è l'incognita da determinare. Il tipo più semplice di equazioni algebriche sono le equazioni lineari, cioè di primo grado.

In virtù del teorema fondamentale dell'algebra ogni equazione di grado ${\displaystyle n}$ ammette esattamente ${\displaystyle n}$ soluzioni nel campo complesso.

Il criterio di Cartesio stabilisce il numero massimo di soluzioni nel campo reale per un'equazione di grado ${\displaystyle n}$: il massimo numero di soluzioni reali positive è dato dal numero di variazioni di segno fra coefficienti consecutivi ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n-1},a_{n))$, trascurando eventuali coefficienti nulli.

Le equazioni di secondo grado sono chiamate quadratiche; seguono le cubiche e le quartiche. Per il teorema di Abel-Ruffini le equazioni di grado superiore al quarto non sono generalmente risolvibili per radicali.

Tra le equazioni particolari di grado superiore al terzo, si ricordano:

• equazioni binomie (${\displaystyle ax^{n}+b=0\;}$),
• equazioni biquadratiche (${\displaystyle ax^{4}+bx^{2}+c=0\;}$),
• equazioni trinomie (${\displaystyle ax^{2n}+bx^{n}+c=0\;}$),
• equazioni reciproche (in cui, se un numero è soluzione, lo è anche il suo reciproco).