In elettrotecnica un fasore è un numero complesso che rappresenta un'onda sinusoidale di una specifica frequenza.[1] Essendo un numero complesso è rappresentabile nel piano complesso come un vettore sfasato rispetto all'asse reale di un certo angolo o fase , da qui l'origine del termine fasore, parola macedonia composta da fase e vettore . I fasori sono utilizzati dal metodo simbolico quale comoda rappresentazione in campo complesso di grandezze fisiche reali oscillanti come, in particolare, le grandezze elettriche, tensione o corrente .
Rappresentazione del vettore rotante Un'onda sinusoidale
v
(
t
)
{\displaystyle v(t)}
è caratterizzata da un'ampiezza
V
max
{\displaystyle V_{\max ))
, una frequenza
f
{\displaystyle f}
e una fase iniziale
ϕ
0
{\displaystyle \phi _{0))
. Alla frequenza, grandezza pari all'inverso del periodo
T
{\displaystyle T}
dell'onda, è possibile associare una pulsazione
ω
=
2
π
f
{\displaystyle \omega =2\pi f}
tale per cui l'equazione dell'onda allora risulta:[2]
v
(
t
)
=
V
max
cos
(
ω
t
+
ϕ
0
)
{\displaystyle v(t)=V_{\max }\cos(\omega t+\phi _{0})}
Nell'analisi dei circuiti elettrici in corrente alternata è necessario effettuare diverse operazioni algebriche tra sinusoidi, allora per semplificare i calcoli è possibile associare univocamente a ogni onda sinusoidale un numero complesso detto fasore. Si definisce allora un numero complesso tale che la sua parte reale sia pari alla funzione
v
(
t
)
{\displaystyle v(t)}
, e che abbia parte immaginaria tale da poter impiegare direttamente la formula di Eulero , essendo la parte reale una funzione coseno. Si determina allora il numero complesso:[3]
V
max
cos
(
ω
t
+
ϕ
0
)
+
j
V
max
sin
(
ω
t
+
ϕ
0
)
{\displaystyle V_{\max }\cos(\omega t+\phi _{0})+jV_{\max }\sin(\omega t+\phi _{0})}
In elettrotecnica l'unità immaginaria è indicata con la lettera
j
{\displaystyle j}
al fine di evitare confusione con l'intensità di corrente , generalmente indicata con la lettera
i
{\displaystyle i}
. In un sistema di coordinate polari , tramite la formula di Eulero, il numero complesso appena ottenuto è riscrivibile come:[3]
V
max
e
j
(
ω
t
+
ϕ
0
)
=
V
max
e
j
ϕ
0
e
j
ω
t
{\displaystyle V_{\max }e^{j(\omega t+\phi _{0})}=V_{\max }e^{j\phi _{0))e^{j\omega t))
Sul piano complesso è possibile rappresentare
V
max
e
j
ϕ
0
=
V
max
(
cos
ϕ
0
+
j
sin
ϕ
0
)
{\displaystyle V_{\max }e^{j\phi _{0))=V_{\max }(\cos {\phi _{0))+j\sin {\phi _{0)))}
come un vettore di modulo
V
max
{\displaystyle V_{\max ))
sfasato rispetto all'asse reale di angolo
ϕ
0
{\displaystyle \phi _{0))
. Siccome però il numero ottenuto è
V
max
e
j
(
ω
t
+
ϕ
0
)
{\displaystyle V_{\max }e^{j(\omega t+\phi _{0})))
si ha che lo sfasamento con l'asse reale varia di un fattore
ω
t
{\displaystyle \omega t}
, si ha così nel piano complesso un vettore di che ruota in senso antiorario a velocità angolare
ω
{\displaystyle \omega }
. Date queste proprietà il numero ottenuto è definito vettore rotante. Se le operazioni algebriche sono da effettuare su circuiti lineari caratterizzati da tensioni e correnti alternate di uguale frequenza allora è conveniente definire il fasore
V
¯
{\displaystyle {\bar {V))}
come un vettore sul piano complesso di modulo pari al valore efficace
V
{\displaystyle V}
della sinusoide (grandezza tale che
V
max
=
2
V
{\displaystyle V_{\max }={\sqrt {2))V}
) e fase
ϕ
0
{\displaystyle \phi _{0))
.[3]
V
¯
=
V
e
j
ϕ
0
{\displaystyle {\bar {V))=Ve^{j\phi _{0))}
La corrispondenza tra sinusoide e fasore allora è:[4]
v
(
t
)
=
2
R
e
(
V
¯
e
j
ω
t
)
{\displaystyle v(t)={\sqrt {2))\,\mathrm {Re} ({\bar {V))e^{j\omega t})}
In modo del tutto equivalente, definito il fasore complesso coniugato
V
¯
∗
=
V
e
−
j
ϕ
0
{\displaystyle {\bar {V))^{*}=Ve^{-j\phi _{0))}
si ha che:
v
(
t
)
=
1
2
(
V
¯
e
j
ω
t
+
V
¯
∗
e
−
j
ω
t
)
{\displaystyle v(t)={1 \over {\sqrt {2))}({\bar {V))e^{j\omega t}+{\bar {V))^{*}e^{-j\omega t})}
Definito il fasore
V
¯
1
=
V
1
e
j
ϕ
1
=
V
1
cos
ϕ
1
+
j
V
1
sin
ϕ
1
{\displaystyle {\bar {V))_{1}=V_{1}e^{j\phi _{1))=V_{1}\cos {\phi _{1))+jV_{1}\sin {\phi _{1))}
e in modo analogo
V
¯
2
{\displaystyle {\bar {V))_{2))
allora la somma tra i due è:[5]
V
¯
1
+
V
¯
2
=
V
1
cos
ϕ
1
+
V
2
cos
ϕ
2
+
j
(
V
1
sin
ϕ
1
+
V
2
sin
ϕ
2
)
{\displaystyle {\bar {V))_{1}+{\bar {V))_{2}=V_{1}\cos {\phi _{1))+V_{2}\cos {\phi _{2))+j(V_{1}\sin {\phi _{1))+V_{2}\sin {\phi _{2)))}
Per estensione la sommatoria di
n
{\displaystyle n}
fasori è:[5]
∑
k
=
1
n
V
¯
k
=
∑
k
=
1
n
V
k
cos
ϕ
k
+
j
∑
k
=
1
n
V
k
sin
ϕ
k
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\bar {V))_{k}=\sum _{k=1}^{n}{V}_{k}\cos {\phi _{k))+j\sum _{k=1}^{n}{V}_{k}\sin {\phi _{k))}
La differenza è realizzabile come la somma di fasori opposti:
V
¯
1
−
V
¯
2
=
V
¯
1
+
(
−
V
¯
2
)
{\displaystyle {\bar {V))_{1}-{\bar {V))_{2}={\bar {V))_{1}+(-{\bar {V))_{2})}
Definiti i fasori
V
¯
1
{\displaystyle {\bar {V))_{1))
e
V
¯
2
{\displaystyle {\bar {V))_{2))
allora il loro prodotto è:
V
¯
1
⋅
V
¯
2
=
V
1
V
2
e
j
(
ϕ
1
+
ϕ
2
)
=
V
1
V
2
(
cos
(
ϕ
1
+
ϕ
2
)
+
j
sin
(
ϕ
1
+
ϕ
2
)
)
{\displaystyle {\bar {V))_{1}\cdot {\bar {V))_{2}=V_{1}V_{2}e^{j(\phi _{1}+\phi _{2})}=V_{1}V_{2}(\cos {(\phi _{1}+\phi _{2})}+j\sin {(\phi _{1}+\phi _{2})})}
Per estensione la produttoria di
n
{\displaystyle n}
fasori è:
∏
k
=
1
n
V
¯
k
=
∏
k
=
1
n
V
k
e
j
∑
k
=
1
n
ϕ
k
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n}{\bar {V))_{k}=\prod _{k=1}^{n}{V}_{k}e^{j\sum _{k=1}^{n}\phi _{k))}
Considerati i fasori
V
¯
1
{\displaystyle {\bar {V))_{1))
e
V
¯
2
{\displaystyle {\bar {V))_{2))
allora il loro rapporto è:
V
¯
1
V
¯
2
=
V
1
V
2
e
j
(
ϕ
1
−
ϕ
2
)
{\displaystyle ((\bar {V))_{1} \over {\bar {V))_{2))={V_{1} \over V_{2))e^{j(\phi _{1}-\phi _{2})))
Considerato il numero complesso coniugato
V
¯
2
∗
=
V
2
e
−
j
ϕ
0
{\displaystyle {\bar {V))_{2}^{*}=V_{2}e^{-j\phi _{0))}
allora il prodotto coniugato è:
V
¯
1
⋅
V
¯
2
∗
=
V
1
V
2
e
j
(
ϕ
1
−
ϕ
2
)
{\displaystyle {\bar {V))_{1}\cdot {\bar {V))_{2}^{*}=V_{1}V_{2}e^{j(\phi _{1}-\phi _{2})))
In particolare se
V
¯
1
=
V
¯
2
=
V
¯
{\displaystyle {\bar {V))_{1}={\bar {V))_{2}={\bar {V))}
allora:
V
¯
⋅
V
¯
∗
=
V
2
{\displaystyle {\bar {V))\cdot {\bar {V))^{*}=V^{2))
Considerato il fasore
V
¯
=
V
e
j
ϕ
0
{\displaystyle {\bar {V))=Ve^{j\phi _{0))}
e il suo vettore rotante associato
2
V
¯
e
j
ω
t
{\displaystyle {\sqrt {2)){\bar {V))e^{j\omega t))
allora simbolicamente si indica la derivata del fasore come il fasore della derivata del vettore rotante:
d
d
t
2
V
¯
e
j
ω
t
=
2
V
¯
j
ω
e
j
ω
t
→
d
V
¯
d
t
=
j
ω
V
¯
{\displaystyle {d \over dt}{\sqrt {2)){\bar {V))e^{j\omega t}={\sqrt {2)){\bar {V))j\omega e^{j\omega t}\rightarrow {d{\bar {V)) \over dt}=j\omega {\bar {V))}
Siccome
j
ω
V
¯
=
ω
V
e
j
(
ϕ
0
+
π
2
)
{\displaystyle j\omega {\bar {V))=\omega Ve^{j{(\phi _{0}+{\pi \over 2})))}
allora la derivazione moltiplica il modulo di un fattore
ω
{\displaystyle \omega }
e introduce uno sfasamento in ritardo di
π
2
{\displaystyle {\tfrac {\pi }{2))}
.
Analogamente per l'integrale:
∫
2
V
¯
e
j
ω
t
d
t
=
2
V
¯
j
ω
e
j
ω
t
→
∫
V
¯
d
t
=
V
¯
j
ω
{\displaystyle \int {\sqrt {2)){\bar {V))e^{j\omega t}dt={\sqrt {2))((\bar {V)) \over j\omega }e^{j\omega t}\rightarrow \int {\bar {V))dt=((\bar {V)) \over j\omega ))
Siccome
V
¯
j
ω
=
V
ω
e
j
(
ϕ
0
−
π
2
)
{\displaystyle {\tfrac {\bar {V)){j\omega ))={\tfrac {V}{\omega ))e^{j{(\phi _{0}-{\pi \over 2})))}
allora l'integrazione moltiplica il modulo di un fattore
1
ω
{\displaystyle {\tfrac {1}{\omega ))}
e introduce uno sfasamento in anticipo di
−
π
2
{\displaystyle -{\tfrac {\pi }{2))}
.
Considerato un resistore di resistenza
R
{\displaystyle R}
su cui è applicata una corrente alternata
i
(
t
)
{\displaystyle i(t)}
allora per la legge di Ohm la tensione
v
(
t
)
{\displaystyle v(t)}
sul resistore è:
v
(
t
)
=
R
i
(
t
)
{\displaystyle v(t)=Ri(t)\ }
Associati i rispettivi vettori rotanti allora la relazione diventa:
2
V
e
j
(
ω
t
+
ϕ
v
)
=
R
2
I
e
j
(
ω
t
+
ϕ
i
)
{\displaystyle {\sqrt {2))Ve^{j(\omega t+\phi _{v})}=R{\sqrt {2))Ie^{j(\omega t+\phi _{i})))
In particolare si nota che il valore efficace della tensione è
V
=
R
I
{\displaystyle V=RI}
mentre la fase è
ϕ
v
=
ϕ
i
{\displaystyle \phi _{v}=\phi _{i))
. In termini di fasori allora:
V
¯
=
R
I
¯
{\displaystyle {\bar {V))=R{\bar {I))}
La relazione costitutiva dell'induttore è:
v
(
t
)
=
L
d
i
(
t
)
d
t
{\displaystyle v(t)=L{\frac {di(t)}{dt))}
Associati i rispettivi vettori rotanti allora la relazione diventa:
2
V
e
j
(
ω
t
+
ϕ
v
)
=
L
d
d
t
2
I
e
j
(
ω
t
+
ϕ
i
)
=
2
j
ω
L
I
e
j
(
ω
t
+
ϕ
i
)
=
2
ω
L
I
e
j
(
ω
t
+
ϕ
i
+
π
2
)
{\displaystyle {\sqrt {2))Ve^{j(\omega t+\phi _{v})}=L{d \over dt}{\sqrt {2))Ie^{j(\omega t+\phi _{i})}={\sqrt {2))j\omega LIe^{j(\omega t+\phi _{i})}={\sqrt {2))\omega LIe^{j(\omega t+\phi _{i}+{\pi \over 2})))
In particolare si nota che il valore efficace della tensione è
V
=
ω
L
I
{\displaystyle V=\omega LI}
mentre la fase è
ϕ
v
=
ϕ
i
+
π
2
{\displaystyle \phi _{v}=\phi _{i}+{\pi \over 2))
, si ha quindi che la corrente è in ritardo rispetto alla tensione. In termini di fasori allora:
V
¯
=
j
ω
L
I
¯
{\displaystyle {\bar {V))=j\omega L{\bar {I))}
La relazione costitutiva del condensatore è:
i
(
t
)
=
C
d
v
(
t
)
d
t
{\displaystyle i(t)=C{dv(t) \over dt))
Associati i rispettivi vettori rotanti allora la relazione diventa:
2
I
e
j
(
ω
t
+
ϕ
i
)
=
C
d
d
t
2
V
e
j
(
ω
t
+
ϕ
v
)
=
2
j
ω
C
V
e
j
(
ω
t
+
ϕ
v
)
=
2
ω
C
V
e
j
(
ω
t
+
ϕ
v
+
π
2
)
{\displaystyle {\sqrt {2))Ie^{j(\omega t+\phi _{i})}=C{d \over dt}{\sqrt {2))Ve^{j(\omega t+\phi _{v})}={\sqrt {2))j\omega CVe^{j(\omega t+\phi _{v})}={\sqrt {2))\omega CVe^{j(\omega t+\phi _{v}+{\pi \over 2})))
In particolare si nota che il valore efficace della corrente è
I
=
ω
C
V
{\displaystyle I=\omega CV}
mentre la fase è
ϕ
i
=
ϕ
v
+
π
2
{\displaystyle \phi _{i}=\phi _{v}+{\pi \over 2))
, si ha quindi che la corrente è in anticipo rispetto alla tensione. In termini di fasori allora:
I
¯
=
j
ω
C
V
¯
{\displaystyle {\bar {I))=j\omega C{\bar {V))}