In matematica, la funzione Xi (Ξ) di Riemann è una funzione definita in modo tale da avere un'equazione funzionale particolarmente semplice. Essa è una variante della funzione zeta di Riemann.

Definizione

La funzione ${\displaystyle \xi }$ (xi minuscola) originale di Riemann è stata rinominata in funzione Ξ (Xi maiuscola) dal matematico tedesco Edmund Landau.

La funzione ${\displaystyle ~\xi ~}$ fu definita, infatti, da Landau come^[1]:

${\displaystyle \xi (s)={\tfrac {1}{2))s(s-1)\pi ^{-s/2}\Gamma \left({\tfrac {1}{2))s\right)\zeta (s)}$

per ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$, con ${\displaystyle \zeta (s)}$ che indica la funzione zeta di Riemann e ${\displaystyle \Gamma (s)}$ la funzione Gamma.

L'equazione funzionale per la ${\displaystyle ~\Xi ~}$ di Landau è ${\displaystyle \xi (1-s)=\xi (s)~.}$

Invece, la funzione originale di Riemann fu rinominata da Landau^[1] in funzione ${\textstyle ~\Xi ~}$ come ${\textstyle \Xi (z)=\xi \left({\tfrac {1}{2))+zi\right),}$ che obbedisce all'equazione funzionale ${\textstyle \Xi (-z)=\Xi (z)~.}$

Si noti che la funzione ${\displaystyle ~\Xi ~}$ sopra riportata è invero la funzione originariamente indicata da Riemann con la lettera minuscola ${\displaystyle ~\xi ~}$^[1]. Entrambe sono funzioni intere e puramente reali per argomenti reali.

Valori

La forma generale per numeri interi pari positivi è

${\displaystyle \xi (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {n!}{(2n)!))B_{2n}2^{2n-1}\pi ^{n}(2n-1)}$

dove B _n indica l'n-esimo numero di Bernoulli. Per ${\displaystyle n=1}$ si ha ${\textstyle \xi (2)={\frac {\pi }{6)).}$

Rappresentazioni in serie

La funzione ${\displaystyle \xi }$ ha la seguente espansione in serie

${\displaystyle {\frac {d}{dz))\ln \xi \left({\frac {-z}{1-z))\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda _{n+1}z^{n},}$

dove

${\displaystyle \lambda _{n}={\frac {1}{(n-1)!))\left.{\frac {d^{n)){ds^{n))}\left[s^{n-1}\log \xi (s)\right]\right|_{s=1}=\sum _{\rho }\left[1-\left(1-{\frac {1}{\rho ))\right)^{n}\right],}$ e la sommatoria è presa sugli zeri non banali ρ della funzione zeta, in numero di ${\displaystyle |\Im (\rho )|.}$

Questa espansione gioca un ruolo di particolare importanza nel criterio di Li, secondo il quale l'ipotesi di Riemann equivale ad avere ${\displaystyle \lambda _{n}>0,\forall n>0.}$

Prodotto di Hadamard

Una semplice espansione con prodotto infinito è data da:

${\displaystyle \xi (s)={\frac {1}{2))\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho ))\right),\!}$ dove ρ spazia sulle radici di ξ.

Per garantire la convergenza nell'espansione, il prodotto dovrebbe essere preso sulle "coppie corrispondenti" di zeri: quei fattori per una coppia di zeri della forma ${\displaystyle \rho }$ e ${\displaystyle 1-\rho }$ dovrebbero, quindi, essere raggruppati insieme.