In topologia, un insieme chiuso è un sottoinsieme di uno spazio topologico tale che il suo complementare è aperto, oppure, equivalentemente, un insieme è chiuso se contiene la sua frontiera. Intuitivamente se un insieme è chiuso vuol dire che il "bordo" dell'insieme appartiene all'insieme stesso.

Gli insiemi chiusi hanno quindi le seguenti proprietà, "complementari" a quelle degli insiemi aperti, valide in un qualsiasi spazio topologico ${\displaystyle (X,{\mathcal {T)))}$:

1. l'unione di un numero finito di chiusi è ancora un chiuso;
2. l'intersezione di una collezione arbitraria di chiusi è ancora un chiuso;
3. l'intero insieme ${\displaystyle X}$ e l'insieme vuoto sono chiusi.

Si possono usare queste proprietà come assiomi per definire una topologia su ${\displaystyle X}$ a partire dai chiusi, che coincide con quella generata nel modo usuale dalla famiglia ${\displaystyle {\mathcal {T))}$ degli aperti complementari.

Esempi

Sono insiemi chiusi della retta reale con l'usuale topologia indotta dalla metrica euclidea i seguenti sottoinsiemi:

• i sottoinsiemi contenenti un solo elemento;
• gli intervalli ${\displaystyle [a,b]}$, con ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ numeri reali finiti;
• gli intervalli ${\displaystyle [a,+\infty )}$ e ${\displaystyle (-\infty ,b]}$, con ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ numeri reali finiti;
• i sottoinsiemi dei numeri naturali e dei numeri interi;
• l'insieme di Cantor.

Non sono insiemi chiusi della retta reale con l'usuale topologia indotta dalla metrica euclidea i seguenti sottoinsiemi:

• gli intervalli ${\displaystyle [a,b)}$ e ${\displaystyle (a,b]}$, con ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ numeri reali finiti;
• il sottoinsieme dei numeri razionali.

Altri esempi di insiemi chiusi sono:

• un qualsiasi sottospazio vettoriale dello spazio euclideo;
• un cerchio (circonferenza inclusa) nel piano, una sfera (con la sua superficie) nello spazio e più in generale un'ipersfera (con il suo bordo) in uno spazio euclideo a ${\displaystyle n}$ dimensioni. Più in generale l'insieme ${\displaystyle S=\{x\in X:d(x,O)\leq R\))$

dove ${\displaystyle O}$ è un punto dello spazio ed ${\displaystyle R}$ un numero reale positivo, è un insieme chiuso dello spazio metrico ${\displaystyle (X,d)}$ con topologia indotta dalla metrica ${\displaystyle d}$.

Proprietà

• Un sottoinsieme chiuso di un insieme compatto è anch'esso compatto.
• Un sottoinsieme compatto in uno spazio di Hausdorff è chiuso.
• La frontiera di un qualunque insieme è chiusa.
• In uno spazio metrico (ad esempio quello euclideo), i punti sono chiusi.
• Uno spazio topologico è uno spazio T1 se e solo se tutti i suoi punti sono chiusi.
• La controimmagine di un chiuso attraverso una funzione continua tra due spazi topologici è chiusa.