L'omologia, assieme all'omotopia, è un concetto fondamentale della topologia algebrica. È una procedura con cui viene assegnata a un certo oggetto matematico (come uno spazio topologico o un gruppo), una successione di gruppi abeliani, che forniscano in qualche maniera informazioni sull'oggetto in considerazione.

In topologia, l'omologia di uno spazio topologico ${\displaystyle X}$ è un gruppo abeliano

${\displaystyle H_{i}(X)}$

che informalmente misura il numero di "buchi ${\displaystyle i}$-dimensionali" dello spazio ${\displaystyle X}$. Un concetto analogo è il gruppo fondamentale.

Descrizione

L'omologia di uno spazio topologico ${\displaystyle X}$ è una successione di gruppi abeliani, che vengono indicati nel modo seguente:

${\displaystyle H_{0}(X),H_{1}(X),H_{2}(X),\ldots }$

Informalmente, il gruppo ${\displaystyle H_{i}(X)}$ descrive i "buchi ${\displaystyle i}$-dimensionali" di ${\displaystyle X}$. Esistono vari modi (essenzialmente equivalenti) di definire l'omologia: si parla quindi a seconda del caso di omologia singolare, omologia simpliciale, etc.

Un esempio fondamentale è fornito dalla sfera ${\displaystyle n}$-dimensionale, indicata in matematica con il simbolo ${\displaystyle S^{n))$. Tale "sfera" è in realtà una circonferenza in dimensione ${\displaystyle n=1}$, ed è l'ordinaria superficie sferica per ${\displaystyle n=2}$. Può essere descritta come il luogo dei punti dello spazio euclideo ${\displaystyle (n+1)}$-dimensionale ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1))$ che soddisfa l'equazione seguente:

${\displaystyle x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}=1.}$

L'omologia della sfera ${\displaystyle S^{n))$ è la seguente:

${\displaystyle H_{i}(S^{n})=\left\((\begin{array}{l}\mathbb {Z} {\rm {\ se\ ))i=0{\rm {\ oppure\ ))i=n,\\\{0\}{\rm {\ altrimenti)).\,\!\end{array))\right.}$

I simboli ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ e ${\displaystyle \{0\))$ indicano rispettivamente il gruppo dei numeri interi ed il gruppo banale. L'omologia della sfera ${\displaystyle S^{n))$ è quindi banale per ogni ${\displaystyle i}$, tranne che per i valori 0 e ${\displaystyle n}$. La non-banalità per ${\displaystyle i=0}$ è un fatto generale, valido per ogni spazio topologico. L'informazione per ${\displaystyle i=n}$ registra invece l'esistenza di un "buco" ${\displaystyle n}$-dimensionale.

Questo buco ${\displaystyle n}$-dimensionale può essere "tappato" aggiungendo alla sfera la sua parte interna (ovvero la porzione di piano o spazio delimitata dalla sfera). La circonferenza diventa così un cerchio, e la superficie sferica diventa una sfera solida, cioè una palla. In matematica, l'oggetto ottenuto tappando la sfera ${\displaystyle S^{n))$ è chiamato disco (o palla): è indicato con il simbolo ${\displaystyle D^{n))$ e può essere definito come il luogo dei punti che soddisfa la disequazione seguente:

${\displaystyle x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}\leqslant 1.}$

L'omologia del disco risente del fatto che il buco è stato tappato:

${\displaystyle H_{i}(D^{n})=\left\((\begin{array}{l}\mathbb {Z} {\rm {\ se\ ))i=0,\\\{0\}{\rm {\ altrimenti)).\,\!\end{array))\right.}$

Tutti i gruppi di omologia (tranne quello con ${\displaystyle i=0}$) sono banali: informalmente, il disco non contiene buchi.

Uno spazio topologico può avere più buchi di dimensioni diverse. Ad esempio il toro ${\displaystyle T}$ ha tutti e tre i primi gruppi di omologia non banali:

${\displaystyle H_{0}(T)=\mathbb {Z} ,H_{1}(T)=\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} ,H_{2}(T)=\mathbb {Z} .}$

L'omologia è quindi usata in prima istanza come strumento per distinguere oggetti topologici.

Definizione

L'omologia di uno spazio topologico ${\displaystyle X}$ è costruita tramite un procedimento algebrico abbastanza raffinato. Si costruisce a partire da ${\displaystyle X}$ un complesso di catene ${\displaystyle C(X)}$. Il complesso di catene è una successione di gruppi abeliani ${\displaystyle C_{0},C_{1},C_{2},\ldots }$ e di omomorfismi ${\displaystyle \partial _{n}:C_{n}\to C_{n-1))$ chiamati operatori di bordo. Tutti questi oggetti possono essere descritti da una catena di simboli nel modo seguente:

${\displaystyle \dotsb {\overset {\partial _{n+1)){\longrightarrow \,))C_{n}{\overset {\partial _{n)){\longrightarrow \,))C_{n-1}{\overset {\partial _{n-1)){\longrightarrow \,))\dotsb {\overset {\partial _{2)){\longrightarrow \,))C_{1}{\overset {\partial _{1)){\longrightarrow \,))C_{0}{\overset {\partial _{0)){\longrightarrow \,))0}$

dove ${\displaystyle 0}$ indica il gruppo banale. Si richiede inoltre che la composizione di due operatori di bordo consecutivi sia nulla, cioè che per ogni ${\displaystyle n}$ valga la relazione

${\displaystyle \partial _{n}\circ \partial _{n+1}=0.\,\!}$

Ciò è equivalente a chiedere che l'immagine di ${\displaystyle \partial _{n+1))$ sia contenuta nel nucleo di ${\displaystyle \partial _{n))$:

${\displaystyle \operatorname {im} (\partial _{n+1})\subseteq \ker(\partial _{n}).}$

Se immagine e nucleo coincidono per ogni ${\displaystyle n}$ la sequenza si dice esatta. Generalmente però questo non accade; l'omologia "misura" proprio quanto la successione sia lontana dall'essere esatta.

Poiché ogni gruppo ${\displaystyle C_{n))$ è abeliano, le immagini sono tutte sottogruppi normali ed è quindi possibile definire l'${\displaystyle n}$-esimo gruppo di omologia come il gruppo quoziente

${\displaystyle H_{n}(X)=\ker(\partial _{n})/\mathrm {im} (\partial _{n+1}).}$

Viene spesso usata anche la notazione seguente

${\displaystyle Z_{n}=\ker(\partial _{n}),\,\!}$

${\displaystyle B_{n}=\operatorname {im} (\partial _{n+1}).}$

Gli elementi in ${\displaystyle Z_{n))$ e ${\displaystyle B_{n))$ sono chiamati rispettivamente cicli e bordi. L'omologia è quindi

${\displaystyle H_{n}(X)=Z_{n}(X)/B_{n}(X).\,\!}$

Il complesso di catene ${\displaystyle C(X)}$ può essere costruito in vari modi, ma l'omologia che ne risulta è generalmente equivalente. A seconda del metodo scelto per costruire ${\displaystyle C(X)}$ si parla quindi di omologia simpliciale, singolare, cellulare, etc.

Proprietà

Funtorialità

L'omologia è un funtore dalla categoria degli spazi topologici in quella dei gruppi abeliani. In altre parole, l'omologia (ad ogni livello fissato ${\displaystyle k}$) associa ad ogni spazio ${\displaystyle X}$ un gruppo ${\displaystyle H_{k}(X)}$ in modo funtoriale: ogni funzione continua

${\displaystyle f:X\to Y}$

induce un omomorfismo di gruppi

${\displaystyle f_{*}:H_{k}(X)\to H_{k}(Y)}$

che soddisfa alcuni assiomi naturali:

• se ${\displaystyle f}$ è l'identità allora ${\displaystyle f_{*))$ è l'identità,
• l'operazione "commuta" con la composizione: ${\displaystyle (f\circ g)_{*}=f_{*}\circ g_{*))$.

Da questi due assiomi discendono ad esempio due fatti non banali:

• se ${\displaystyle f}$ è un omeomorfismo allora ${\displaystyle f_{*))$ è un isomorfismo,
• se ${\displaystyle f}$ è una retrazione su un sottoinsieme ${\displaystyle Y}$ di ${\displaystyle X}$, allora ${\displaystyle f_{*))$ è suriettiva (e l'inclusione ${\displaystyle i:Y\to X}$ induce una mappa ${\displaystyle i_{*))$ iniettiva).

Anello dei coefficienti

L'omologia dipende, oltre che dal parametro ${\displaystyle k}$, anche dalla scelta di un anello ${\displaystyle A}$. I gruppi ${\displaystyle C_{n))$ del complesso di catene risultano essere dei moduli su ${\displaystyle A}$. Anche i gruppi di omologia ${\displaystyle H_{k))$ sono degli ${\displaystyle A}$-moduli e vengono indicati con il simbolo

${\displaystyle H_{k}(X,A).}$

Nella maggior parte dei casi ${\displaystyle A}$ è l'anello degli interi ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ oppure un campo. Se ${\displaystyle A}$ è un campo i gruppi di omologia ${\displaystyle H_{k))$ sono degli spazi vettoriali e la loro dimensione (se finita) è detta numero di Betti:

${\displaystyle b_{k}=\dim H_{k}(X,A).}$

Il numero di Betti ${\displaystyle b_{k))$ può essere interpretato grossolanamente come il "numero di buchi ${\displaystyle k}$-dimensionali" di ${\displaystyle X}$.

Se ${\displaystyle A}$ è l'anello degli interi il gruppo di omologia ${\displaystyle H_{k))$ è un gruppo abeliano che può generalmente contenere elementi di torsione.

Omotopia

L'omologia è invariante per omotopia: deformazioni continue di mappe e spazi lasciano l'omologia immutata. Più precisamente, due mappe

${\displaystyle f,g:X\to Y}$

omotope inducono lo stesso omomorfismo

${\displaystyle f_{*}=g_{*}:H_{k}(X)\to H_{k}(Y).}$

Tra le conseguenze di questo fatto:

• Due spazi omotopicamente equivalenti hanno gruppi di omologia isomorfi,
• Se un sottoinsieme ${\displaystyle Y}$ di ${\displaystyle X}$ è un retratto di deformazione di ${\displaystyle X}$, l'inclusione ${\displaystyle i:Y\to X}$ induce un isomorfismo in omologia.

Complessi di celle, varietà

Se lo spazio topologico ${\displaystyle X}$ è descrivibile come un complesso di celle è possibile calcolare l'omologia agevolmente usando l'omologia cellulare. Analogamente, se ${\displaystyle X}$ è descrivibile come complesso simpliciale può essere usata l'omologia simpliciale.

Se ${\displaystyle X}$ è un complesso con un numero finito di celle e l'anello di base ${\displaystyle A}$ è un campo, valgono i fatti seguenti:

• Lo spazio vettoriale ${\displaystyle H_{k}(X)}$ ha dimensione finita ${\displaystyle b_{k))$ per ogni ${\displaystyle k}$.
• Se ${\displaystyle n}$ è la dimensione massima delle celle, allora ${\displaystyle b_{i}=0}$ per ogni ${\displaystyle i>n}$.

Con queste ipotesi è quindi ben definita la caratteristica di Eulero

${\displaystyle \chi (X)=b_{0}-b_{1}+b_{2}-\ldots +(-1)^{n}b_{n}.}$

La caratteristica di Eulero è un importante invariante dello spazio topologico ${\displaystyle X}$. A differenza dei numeri di Betti, la caratteristica non dipende dal campo ${\displaystyle A}$ scelto.

Ad esempio, ogni varietà differenziabile compatta di dimensione ${\displaystyle n}$ è descrivibile come complesso di celle finito.

Gruppo di indice zero

Il gruppo di omologia ${\displaystyle H_{0}(X)}$ è sempre isomorfo a ${\displaystyle A^{c))$, dove ${\displaystyle c}$ è il numero di componenti connesse per archi dello spazio topologico ${\displaystyle X}$. In particolare, se ${\displaystyle X}$ è connesso per archi vale l'isomorfismo seguente:

${\displaystyle H_{0}(X)\cong A.}$

Gruppo di indice uno

Se ${\displaystyle X}$ è uno spazio connesso per archi, il gruppo di omologia intera di indice 1 è determinato dal gruppo fondamentale ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ di ${\displaystyle X}$. Si tratta infatti dell'abelianizzato del gruppo fondamentale:

${\displaystyle H_{1}(X,\mathbb {Z} )=\pi _{1}(X)/{\left[\pi _{1}(X),\pi _{1}(X)\right]))$

ovvero ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ quozientato per il suo sottogruppo derivato ${\displaystyle [\pi _{1}(X),\pi _{1}(X)]}$, il più piccolo sottogruppo normale di ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ che contiene tutti i commutatori dei suoi elementi. Il quoziente è effettivamente un gruppo abeliano: in generale, i gruppi di omologia sono tutti abeliani, mentre il gruppo fondamentale può non esserlo.

L'analogia con i gruppi di omotopia termina a questo livello: il secondo gruppo di omologia ${\displaystyle H_{2))$ non è determinato dal secondo gruppo di omotopia ${\displaystyle \pi _{2))$.

Gruppo di indice massimo

Se ${\displaystyle X}$ è una varietà di dimensione ${\displaystyle n}$, tutti i gruppi di omologia di indice superiore a ${\displaystyle n}$ sono banali. Il gruppo di indice massimo ${\displaystyle H_{n}(X)}$ è inoltre determinato da due condizioni topologiche: l'orientabilità e la compattezza di ${\displaystyle X}$. Se ${\displaystyle A}$ è l'anello degli interi o un campo e ${\displaystyle X}$ è connessa, vale il fatto seguente:

${\displaystyle H_{n}(X)={\begin{cases}A&{\mbox{ se ))X{\mbox{ compatta e orientabile))\\\{0\}&{\mbox{ altrimenti ))\end{cases))}$

Per "compatta" si intende "compatta senza bordo" (cioè chiusa).

Esempi

Una varietà compatta (più in generale, un complesso di celle finito) di dimensione ${\displaystyle n}$ ha tutti i gruppi di omologia di ordine maggiore di ${\displaystyle n}$ banali. Per conoscere l'omologia di un tale spazio è quindi sufficiente elencarne i gruppi di ordine fino a ${\displaystyle n}$. L'omologia è definita su un anello ${\displaystyle A}$ (generalmente, l'anello degli interi o un campo).

Sfere

Come già accennato, l'omologia della sfera ${\displaystyle n}$-dimensionale ${\displaystyle S^{n))$ è la seguente:

${\displaystyle H_{0}(S^{n})=A,\ H_{1}(S^{n})=\ldots =H_{n-1}(S^{n})=\{0\},\ H_{n}(S^{n})=A.}$

Superfici

Una superficie orientabile ${\displaystyle \Sigma _{g))$ compatta di genere ${\displaystyle g}$ ha i seguenti gruppi di omologia:

${\displaystyle H_{0}(\Sigma _{g})=A,\ H_{1}(\Sigma _{g})=\mathbb {Z} ^{2g},\ H_{2}(\Sigma _{g})=A.}$

Spazi proiettivi

Lo spazio proiettivo complesso ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n))$ è una varietà di dimensione ${\displaystyle 2n}$. I suoi gruppi di omologia sono i seguenti.

${\displaystyle H_{i}(\mathbb {CP} ^{n})={\begin{cases}A&i{\mbox{ pari ))\\\{0\}&i{\mbox{ dispari ))\end{cases))}$

Brevemente, i gruppi di ordine pari sono isomorfi ad ${\displaystyle A}$ e quelli di ordine dispari sono banali.

L'omologia dello spazio proiettivo reale è più complicata: questa dipende infatti dall'anello ${\displaystyle A}$. Ad esempio, se ${\displaystyle A}$ è l'anello degli interi si ottengono i gruppi seguenti:

${\displaystyle H_{i}(\mathbb {RP} ^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} &i=0{\mbox{ oppure ))i=n{\mbox{ dispari,))\\\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} &0<i<n,\ i\ {\mbox{dispari,))\\0&{\mbox{altrimenti.))\end{cases))}$

I gruppi di indice dispari sono quindi gruppi ciclici di ordine 2, tranne eventualmente l'ultimo. Lo spazio proiettivo reale è orientabile solo per ${\displaystyle n}$ dispari: solo in questo caso il gruppo di omologia di ordine massimo ${\displaystyle n}$ è isomorfo a ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.

Applicazioni

Teorema di Brouwer

Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema del punto fisso di Brouwer.

Con l'omologia è possibile dimostrare il teorema del punto fisso di Brouwer, che asserisce che ogni funzione continua ${\displaystyle f:D^{n}\to D^{n))$ dal disco ${\displaystyle n}$-dimensionale in sé ha un punto fisso. La dimostrazione procede nel modo seguente: se per assurdo non esistesse un punto fisso, i punti ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle f(x)}$ sarebbero distinti per ogni ${\displaystyle x}$: intersecando la retta passante per questi due punti con il bordo del disco si costruisce una retrazione ${\displaystyle F:D^{n}\to S^{n-1))$ dal disco al suo bordo.

Non esiste però nessuna retrazione dal disco al suo bordo: una tale mappa infatti dovrebbe indurre una mappa suriettiva

${\displaystyle F_{*}:H_{k}(D^{n})\to H_{k}(S^{n-1})}$

in omologia. Questo è impossibile, perché per ${\displaystyle k=n-1}$ l'omologia del disco è banale e quella della sfera no.

Spazi non omeomorfi

L'omologia è uno strumento utile a distinguere spazi topologici. Ad esempio, la sfera ${\displaystyle S^{2n))$ e lo spazio proiettivo complesso ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n))$ sono due varietà della stessa dimensione ${\displaystyle 2n}$. Sono entrambe semplicemente connesse. Se ${\displaystyle n=1}$, gli spazi ${\displaystyle S^{2))$ e ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1))$ sono effettivamente omeomorfi. Per ${\displaystyle n>1}$ però non lo sono, perché hanno omologie differenti: quella della sfera è sempre banale (tranne per ${\displaystyle k=0,2n}$) mentre quella dello spazio proiettivo è non banale per ogni ${\displaystyle k}$ pari.

Strumenti

Successione di Mayer-Vietoris

Lo stesso argomento in dettaglio: Successione di Mayer-Vietoris.

La successione di Mayer-Vietoris è un importante strumento utile a calcolare l'omologia di uno spazio topologico ${\displaystyle X}$ a partire da una sua "decomposizione": più precisamente, a partire da un suo ricoprimento in due aperti ${\displaystyle U,V}$. Similmente al teorema di Van Kampen per i gruppi fondamentali, la successione mette in relazione i gruppi di omologia degli spazi ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle U}$, ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle U\cap V}$. Le omologie di questi spazi formano una successione esatta lunga:

${\displaystyle {\begin{aligned}\cdots \rightarrow H_{n+1}(X)\,&{\xrightarrow {\partial _{*))}\,H_{n}(U\cap V)\,{\xrightarrow {(i_{*},j_{*})))\,H_{n}(U)\oplus H_{n}(V)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*))}\,H_{n}(X){\xrightarrow {\partial _{*))}\\&\quad {\xrightarrow {\partial _{*))}\,H_{n-1}(U\cap V)\rightarrow \cdots \rightarrow H_{0}(U)\oplus H_{0}(V)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*))}\,H_{0}(X)\rightarrow \,0.\end{aligned))}$

Se si conoscono le omologie di ${\displaystyle U,V,U\cap V}$ e le mappe naturali fra queste è quindi possibile dedurre l'omologia per ${\displaystyle X}$.

Formula di Künneth

La formula di Künneth permette di calcolare l'omologia di un prodotto ${\displaystyle X\times Y}$ a partire dalle omologie dei singoli fattori ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$. Quando l'anello ${\displaystyle A}$ è un campo, la formula è la seguente:

${\displaystyle H_{k}(X\times Y)\cong \bigoplus _{i+j=k}H_{i}(X)\otimes H_{j}(Y).}$

La formula fa uso del prodotto tensoriale ${\displaystyle \otimes }$ fra spazi vettoriali.