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In topologia generale, un punto ${\displaystyle x}$ è un punto di aderenza ad un sottospazio di uno spazio topologico se è possibile trovare punti di questo sottospazio "arbitrariamente vicini" ad ${\displaystyle x}$. Si tratta di una nozione meno restrittiva di quella di punto di accumulazione.

Definizione

Un punto ${\displaystyle a}$ è aderente ad ${\displaystyle A}$ se e solo se, comunque si prenda un intorno dell'elemento ${\displaystyle a}$, l'intersezione dell'intorno con l'insieme ${\displaystyle A}$ è sempre non vuota.

Ovvero, ${\displaystyle a}$ è un punto di aderenza per ${\displaystyle A}$ se e solo se ${\displaystyle a}$ è un punto di accumulazione per ${\displaystyle A}$ o è un punto isolato di ${\displaystyle A}$.

Spazi topologici

Un punto ${\displaystyle x_{0))$ appartenente ad uno spazio topologico ${\displaystyle (X,T)}$ è detto punto di aderenza (o punto di chiusura) per un sottoinsieme ${\displaystyle S}$ di ${\displaystyle X}$ se ogni aperto contenente ${\displaystyle x_{0))$ interseca ${\displaystyle S}$. In simboli:

${\displaystyle \forall A\in T,x_{0}\in A:A\cap S\not =\varnothing .}$

Spazi metrici

In uno spazio metrico, se si considera la topologia naturalmente indotta dalla metrica, la definizione è equivalente alla richiesta seguente.

${\displaystyle \forall r>0:B(x_{0},r)\cap S\not =\varnothing ,}$

dove con ${\displaystyle B(x_{0},r)}$ si indica la palla di raggio ${\displaystyle r}$ e centro ${\displaystyle x_{0))$. Non ne consegue (come nel caso dei punti di accumulazione) che in ogni palla vi siano infiniti punti di ${\displaystyle S}$.

Differenza con i punti di accumulazione

Tutti i punti di accumulazione di ${\displaystyle S}$ sono anche aderenti ma non è valido il viceversa. Non è richiesto infatti che ogni intorno di ${\displaystyle x_{0))$ intersechi ${\displaystyle S}$ in punti diversi da ${\displaystyle x_{0))$. L'intersezione non vuota può essere garantita dallo stesso punto, purché appartenente a ${\displaystyle S}$.

Ne consegue che tutti i punti di ${\displaystyle S}$ sono aderenti in ${\displaystyle S}$, anche quando non sono di accumulazione. In tale ultimo caso si parla di punti isolati.

Chiusura di un insieme

L'insieme dei punti di aderenza di ${\displaystyle S}$ è detto chiusura (o aderenza) di ${\displaystyle S}$.