Il regolatore lineare quadratico (LQR), nell'ambito del controllo ottimo, e più in generale dei controlli automatici e dei sistemi dinamici lineari tempoinvarianti, è un compensatore dinamico ottenuto a seguito della minimizzazione di un indice di costo ${\displaystyle J(x,u)}$ funzione dello stato ${\displaystyle x(t)}$ e del controllo ${\displaystyle u(t)}$.

${\displaystyle \min J={\frac {1}{2))x_{f}^{T}S_{f}x_{f}+{\frac {1}{2))\int _{t_{0))^{t_{f))(x^{T}Qx+u^{T}Ru)\,d\tau }$,

con ${\displaystyle S_{f))$ e ${\displaystyle Q}$ matrici simmetriche e semi definite positive e ${\displaystyle R}$ simmetrica e definita positiva.

Aver considerato matrici simmetriche non fa perdere di generalità il problema; infatti, qualunque forma quadratica è equivalente ad un'altra con matrice simmetrica. Si dimostra facilmente:

${\displaystyle x^{T}Kx=2{\frac {1}{2))x^{T}Kx+{\frac {1}{2))x^{T}K^{T}x-{\frac {1}{2))x^{T}K^{T}x={\frac {1}{2))x^{T}(K+K^{T})x+{\frac {1}{2))x^{T}(K-K^{T})x={\frac {1}{2))x^{T}(K+K^{T})x}$

La matrice ${\displaystyle K+K^{T))$ è simmetrica mentre ${\displaystyle K-K^{T))$ risulta anti simmetrica e quindi genera una forma quadratica nulla.

La matrice R è definita positiva altrimenti esisterebbero per ${\displaystyle u}$ infinite soluzioni, caso poco interessante in campo ingegneristico per cui si predilige che l'ingresso ottimo ${\displaystyle u_{ott}(t)}$ sia unico.

Per ogni matrice Q semidefinita positiva e per ogni matrice R definita positiva esiste sempre una soluzione ${\displaystyle u_{\mathrm {ott} }(t)}$ del problema di controllo ottimo LQR che minimizza l'indice di costo ${\displaystyle J(x,u)}$.

Se il sistema LTI è stabilizzabile e rilevabile, allora minimizzando l'indice di costo (rendendolo limitato) si stabilizza anche il sistema.

Il controllo ottenuto ${\displaystyle u_{\mathrm {ott} }(t)}$ è funzione lineare dello stato e di alcune matrici tra cui P(t) soluzione della DRE (equazione differenziale di Riccati) se il controllo è a tempo finito, o P (costante) soluzione della ARE (equazione algebrica di Riccati) se il controllo è a tempo infinito.

Tempo finito

• controllo

${\displaystyle u_{ott}(t)=-K_{\mathrm {ott} }(t)x(t)}$

• controllore in retroazione dallo stato

${\displaystyle K_{\mathrm {ott} }(t)=R^{-1}B^{T}P(t)}$

• DRE la cui soluzione fornisce P(t)

${\displaystyle -{\frac {dP(t)}{dt))=A^{T}P(t)+P(t)A+Q-P(t)BR^{-1}B^{T}P(t)}$

Tempo infinito

• controllo

${\displaystyle u_{\mathrm {ott} }(t)=-K_{\mathrm {ott} }x(t)}$

• controllore in retroazione dallo stato

${\displaystyle K_{\mathrm {ott} }=R^{-1}B^{T}P}$

• ARE la cui soluzione fornisce P

${\displaystyle [0]=A^{T}P+PA+Q-PBR^{-1}B^{T}P}$

Essenzialmente fare un controllo su intervallo finito o infinito significa solo far tendere all'infinito (${\displaystyle t_{f))$→∞) l'estremo superiore dell'integrale che definisce ${\displaystyle J(x,u)}$. L'effetto di un controllo su tempo infinito è un controllore stazionario (indipendente dal tempo), ovvero una matrice ${\displaystyle K_{\mathrm {ott} ))$ costante e ottima rispetto all'indice che si voleva minimizzare.

Si può dimostrare che il controllo LQR è robusto di per sé per una gamma di variazioni parametriche ∂${\displaystyle P_{0))$ relative al processo nominale ${\displaystyle P_{0))$ con upperbound costante in frequenza e pari a ${\displaystyle l_{m}=0.5}$. In altre parole permette il controllo per tutte le variazioni che modificano la matrice di trasferimento riferimento-uscita ${\displaystyle U_{0))$ prestazione di sensibilità del controllo fino ad un valore massimo tale che il massimo valore singolare di questa matrice sia minore di 2 (prestazione di sensibilità del controllo).

• Colaneri P., Locatelli A., Controllo robusto in RH2/RH, Pitagora, Bologna, 1993.
• Marro G., Controlli automatici - 5ª edizione, Zanichelli, 2004
• K. Zhou, J. C. Doyle, K. Glover, Robust and optimal control, Prentice Hall, 1996.
• P. Dorato, C. Abdallah, V. Cerone Linear quadratic control: an introduction, Prentice Hall, 1995.

• Filtro di Kalman
• Loop transfer recovery (LTR)
• Controllo lineare quadratico gaussiano (LQG)
• Controllo ottimo
• Teorema di Masreliez
• Controllo robusto
• Prestazione di sensibilità

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