Esistono diverse forme equivalenti per descrivere una retta nel piano cartesiano: la forma cartesiana, che a sua volta si può esprimere in forma implicita o esplicita, e la forma parametrica.
dove i coefficienti , e sono dei numeri reali fissati, con e non contemporaneamente nulli.
Due equazioni individuano la stessa retta se e solo se sono ottenute l'una dall'altra tramite moltiplicazione per una costante non nulla. Ad esempio, le due equazioni:
individuano la stessa retta, perché la seconda equazione è ottenuta moltiplicando la prima per .
La retta può anche essere descritta in forma esplicita come
oppure
da cui si ricava la relazione con q incognita:
oppure
dove si chiama coefficiente angolare o pendenza della retta. Nel caso specifico dell'equazione , il coefficiente è il rapporto tra la variazione delle ordinate (verticale) e la variazione delle ascisse (orizzontale) di due punti qualunque della retta, e quindi la tangente (trigonometrica) dell'angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle ascisse. Il numero si chiama intercetta od ordinata all'origine e rappresenta l'ordinata del punto di intersezione della retta con l'asse delle ordinate. Se , allora la retta passa per l'origine.
In tal caso la forma esplicita si riduce a:
Lo stesso discorso si applica, invertendo ascisse ed ordinate, all'equazione .
Si tenga presente che, a differenza della forma implicita, ciascuna delle due forme esplicite non descrive tutte le rette possibili: l'asse delle ordinate e le relative rette parallele ad esso del tipo , non sono descrivibili nella forma , in quanto non si possono ottenere per alcun valore del coefficiente angolare m;
Qualora la retta sia genericamente obliqua rispetto agli assi cartesiani, la sua equazione può anche essere descritta in forma segmentaria come
con e
e rappresentano rispettivamente l'ascissa e l'ordinata dei punti di intersezione tra la retta e i due assi. Infatti:
La forma segmentaria della retta consente di rappresentare in modo molto veloce la retta sul piano cartesiano in quanto si ricavano dall'equazione i punti di intersezione con gli assi: e .
Una retta in un piano risulta individuata quando sono descritti un suo punto e la direzione, individuata da un vettore .
Con queste informazioni si possono immediatamente scrivere le equazioni parametriche della retta:
dove è un parametro reale. La retta è quindi descritta come l'insieme di punti ottenuti al variare di nell'insieme dei numeri reali. Il punto è ottenuto per il valore .
Le forme cartesiana e parametrica introdotte in precedenza sono solamente due rappresentazioni differenti della stessa retta. È quindi possibile passare da una forma all'altra nel seguente modo:
si elimina il parametro e si ottiene l'equazione cartesiana
Nel caso in cui oppure sia nullo, si annulla il membro corrispondente. Se ad esempio l'equazione precedente diventa:
e quindi la retta corrispondente avrà un'equazione del tipo: cost come ci si aspettava.
Se si ottiene una descrizione della retta in forma esplicita, riscrivendo l'equazione cartesiana così:
Il coefficiente angolare della retta è quindi .
Relazione tra i coefficienti della forma implicita e della forma esplicita della retta
La retta passante per due punti distinti e del piano è descritta in forma cartesiana implicita dalla seguente equazione:
che può essere riscritta nel modo seguente:
e semplificando si ottiene:
Se , la retta non è verticale e può essere descritta in forma esplicita:
Analogamente, se la retta non è orizzontale e può essere descritta esplicitando la variabile . Se la retta non è né verticale né orizzontale, può anche essere descritta dall'equazione seguente:
Sviluppando:
Assegnando le costanti e :
Qualora l'equazione della retta è , cioè si tratta di una retta parallela all'asse .
Qualora l'equazione della retta è , cioè si tratta di una retta parallela all'asse .
Sono date due rette le cui equazioni sono in forma esplicita:
e
.
La condizione di perpendicolarità è:
oppure
Dimostrazione
Sono date due rette perpendicolari fra loro e passanti per l'origine di equazioni:
e con e .
Si consideri il triangolo rettangolo OAB di vertici , e .
Il segmento OH con risulta essere l'altezza relativa all'ipotenusa del triangolo OAB. Dunque si può applicare il secondo teorema di Euclide
Sapendo che e , e , si ottiene
Sono date due rette le cui equazioni sono in forma implicita:
Sono dati gli estremi di un segmento con e . Si vuole calcolare l'equazione dell'asse del segmento, cioè della retta passante per il punto medio del segmento AB e perpendicolare al segmento stesso.
Procedimento:
calcolare le coordinate del punto medio M di AB con le formule e
calcolare il fascio proprio centrato in M con l'equazione
calcolare il coefficiente angolare della retta passante per AB con
calcolare il coefficiente angolare della retta perpendicolare ad AB con
sostituire nell'equazione del fascio proprio il valore di m trovato:
Qualora il segmento AB sia parallelo all'asse x, l'asse di AB è parallelo all'asse y e ha equazione .
Qualora il segmento AB sia parallelo all'asse y, l'asse di AB è parallelo all'asse x e ha equazione .
Sono dati due punti e si vuole calcolare l'equazione della retta passante per i due punti dati. Controllato che la retta non sia parallela agli assi cartesiani il problema può essere risolto in vari modi distinti
utilizzare l'equazione della Retta passante per due punti oppure
costruire un fascio proprio di rette in A e imporre il passaggio per B oppure
data la retta generica imporre il passaggio per A e per B in modo da trovare m e q richiesti.
Il problema va risolto mediante un sistema lineare fra le due equazioni delle rette. La soluzione del sistema, se esiste, rappresenta le coordinate del punto di intersezione fra le due rette.
Se il sistema è impossibile le rette sono parallele.
Se il sistema è indeterminato le rette sono coincidenti.
La distanza di un punto da una retta è il segmento perpendicolare alla retta che ha per estremi il punto e la sua proiezione ortogonale sulla retta stessa. La procedura risolutiva è dunque la seguente
si individua il coefficiente angolare della retta perpendicolare alla retta data
si costruisce un fascio proprio in P e si sceglie la retta perpendicolare
si individua il punto di intersezione H tra la retta data e la perpendicolare
Tutti e solo i punti della bisettrice sono equidistanti dai lati.
Dunque si impone che il generico punto della bisettrice sia equidistante dalle due rette che individuano i lati dell'angolo.
Un angolo acuto è individuato dalle rette di equazione r: e s: . Si vuole calcolare l'equazione della bisettrice.
Tutti i punti della bisettrice sono equidistanti dai lati dell'angolo, dunque usando la formula della distanza punto retta, si ottiene
e semplificando si ottiene
L'equazione con il valore assoluto si risolve ricordando che: . E quindi si ottiene
Osservando la figura, si capisce che la prima retta è la bisettrice dell'angolo ottuso, la seconda retta è la bisettrice dell'angolo acuto del problema.
Ricerca del centro della circonferenza circoscritta al triangolo