Il simbolo di Legendre è utilizzato in matematica nell'ambito della teoria dei numeri, e in particolare nei campi della fattorizzazione e dei residui quadratici. Esso prende il nome dal matematico francese Adrien-Marie Legendre.

Definizione

Il simbolo di Legendre è definito come segue:

Se ${\displaystyle p}$ è un numero primo dispari e ${\displaystyle a}$ è un intero, allora il simbolo di Legendre ${\displaystyle \left({\frac {a}{p))\right)}$ è uguale a:

• ${\displaystyle 0}$ se ${\displaystyle p}$ divide ${\displaystyle a}$;
• ${\displaystyle 1}$ se ${\displaystyle a}$ è un quadrato modulo ${\displaystyle p}$, ossia se esiste un intero ${\displaystyle k}$ tale che ${\displaystyle k^{2}\equiv a{\pmod {p))}$, o equivalentemente se ${\displaystyle a}$ è un residuo quadratico modulo ${\displaystyle p}$;
• ${\displaystyle -1}$ se ${\displaystyle a}$ non è un quadrato modulo ${\displaystyle p}$, cioè se ${\displaystyle a}$ non è un residuo quadratico modulo ${\displaystyle p}$.

La generalizzazione del simbolo di Legendre a ${\displaystyle \left({\frac {a}{n))\right)}$ con ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ dispari è il simbolo di Jacobi.

Proprietà del simbolo di Legendre

Il simbolo di Legendre possiede un certo numero di proprietà che consentono di velocizzare i calcoli. Le più importanti sono:

1. ${\displaystyle \left({\frac {ab}{p))\right)=\left({\frac {a}{p))\right)\left({\frac {b}{p))\right)}$ (cioè è una funzione completamente moltiplicativa nel suo argomento superiore)
2. Se a ≡ b (mod p), allora ${\displaystyle \left({\frac {a}{p))\right)=\left({\frac {b}{p))\right)}$
3. ${\displaystyle \left({\frac {1}{p))\right)=1}$
4. ${\displaystyle \left({\frac {-1}{p))\right)=(-1)^{\left({\frac {p-1}{2))\right)))$, cioè 1 se p ≡ 1 (mod 4) e −1 se p ≡ 3 (mod 4)
5. ${\displaystyle \left({\frac {2}{p))\right)=(-1)^{\left({\frac {p^{2}-1}{8))\right)))$, cioè 1 se p ≡ 1 o 7 (mod 8) e −1 se p ≡ 3 o 5 (mod 8)
6. Se q è un primo dispari, allora ${\displaystyle \left({\frac {q}{p))\right)=\left({\frac {p}{q))\right)(-1)^{\left({\frac {p-1}{2))\right)\left({\frac {q-1}{2))\right)))$

L'ultima proprietà prende il nome di legge di reciprocità quadratica.

Il simbolo di Legendre è inoltre collegato al criterio di Eulero, dimostrato da Leonardo Eulero:

${\displaystyle \left({\frac {a}{p))\right)\equiv a^{\left({\frac {p-1}{2))\right)}{\pmod {p))}$

Infine, il simbolo di Legendre è un carattere di Dirichlet, detto anche il carattere quadratico modulo p.

Funzioni correlate

Il simbolo di Jacobi è una generalizzazione del simbolo di Legendre che ammette come argomento un numero dispari composto al posto del primo p.