In matematica, e in particolare in algebra lineare, un sottospazio vettoriale è un sottoinsieme di uno spazio vettoriale, avente proprietà tali da farne a sua volta un altro spazio vettoriale. Esempi di sottospazi vettoriali sono le rette ed i piani nello spazio euclideo tridimensionale passanti per l'origine.

Definizione

Sia ${\displaystyle K}$ un campo, sia ${\displaystyle V}$ uno spazio vettoriale su ${\displaystyle K}$ e sia ${\displaystyle W}$ un sottoinsieme non vuoto di ${\displaystyle V}$. L'insieme ${\displaystyle W}$ è un sottospazio vettoriale di ${\displaystyle V}$ se è uno spazio vettoriale su ${\displaystyle K}$ con le operazioni di somma e moltiplicazione di ${\displaystyle V}$ ristrette a ${\displaystyle W}$,^[1] questo vuol dire, tra le altre cose, che le immagini di tali operazioni ristrette sono contenute in ${\displaystyle W}$.

Si dimostra che il sottoinsieme non vuoto ${\displaystyle W}$ è un sottospazio vettoriale se e solo se valgono le seguenti proprietà:^[2]

• Se ${\displaystyle \mathbf {u} }$ e ${\displaystyle \mathbf {v} }$ sono elementi di ${\displaystyle W}$, allora anche la loro somma ${\displaystyle \mathbf {u} +\mathbf {v} }$ è un elemento di ${\displaystyle W}$.
• Se ${\displaystyle \mathbf {u} }$ è un elemento di ${\displaystyle W}$ e ${\displaystyle \lambda }$ è uno scalare in ${\displaystyle K}$, allora il prodotto ${\displaystyle \lambda \mathbf {u} }$ è un elemento di ${\displaystyle W}$.

Queste due condizioni sono equivalenti alla seguente: se ${\displaystyle \mathbf {u} }$ e ${\displaystyle \mathbf {v} }$ sono elementi di ${\displaystyle W}$, ${\displaystyle \lambda }$ e ${\displaystyle \mu }$ sono elementi di ${\displaystyle K}$, allora ${\displaystyle \lambda \mathbf {u} +\mu \mathbf {v} }$ è un elemento di ${\displaystyle W}$.^[3]

Dalla definizione segue che per ogni spazio vettoriale ${\displaystyle V}$ gli insiemi ${\displaystyle \{\mathbf {0} \))$ e ${\displaystyle V}$ sono suoi sottospazi vettoriali, detti sottospazi impropri o banali. Richiedere l'appartenenza del vettore nullo al sottoinsieme nella definizione non è necessario (anche se alcuni autori lo esplicitano nella definizione) in quanto si dimostra che il vettore nullo appartiene a ogni sottospazio vettoriale. Infatti, per ogni ${\displaystyle \mathbf {v} \in W}$ il vettore:

${\displaystyle 0\mathbf {v} =\mathbf {0} }$

appartiene a ${\displaystyle W}$ grazie alla chiusura dell'insieme rispetto al prodotto per scalare. Tuttavia spesso verificare l'appartenenza del vettore nullo al sottoinsieme è un modo semplice per verificare che il sottoinsieme ${\displaystyle W}$ sia non vuoto (che invece è una condizione necessaria per avere un sottospazio).

Inoltre, si prova facilmente che il sottospazio di un sottospazio di uno spazio ${\displaystyle V}$ è sottospazio di ${\displaystyle V}$ stesso.

Queste proprietà garantiscono che le operazioni di somma e di prodotto per scalare di ${\displaystyle V}$ siano ben definite anche quando sono ristrette a ${\displaystyle W}$. A questo punto, gli otto assiomi di spazio vettoriale, che erano garantiti per ${\displaystyle V}$, valgono anche per ${\displaystyle W}$, e quindi anche ${\displaystyle W}$ è uno spazio vettoriale.

Esempi

Molti esempi di spazi vettoriali si costruiscono come sottospazi di spazi vettoriali standard, quali ${\displaystyle K^{n))$, le matrici ${\displaystyle m\times n}$, o i polinomi a coefficienti in ${\displaystyle K}$.

• Si consideri lo spazio vettoriale reale ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2))$ dotato di operazioni somma di vettori e prodotto di uno scalare per un vettore. L'insieme costituito dal solo elemento ${\displaystyle (0,0)}$ è un sottinsieme di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2))$. Si verifica che l'insieme contenente solo ${\displaystyle (0,0)}$ è un sottospazio di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2))$ poiché ${\displaystyle (0,0)+(0,0)=(0,0)}$ elemento del sottospazio, e il prodotto di uno scalare ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$ per ${\displaystyle (0,0)}$ dà come risultato sempre ${\displaystyle (0,0).}$ Più in generale il sottoinsieme di uno spazio vettoriale contenente il solo elemento neutro dello spazio vettoriale è un sottospazio vettoriale detto sottospazio banale.
• Una retta o un piano passanti per l'origine sono sottospazi di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3))$.
• Le soluzioni di un sistema lineare omogeneo a coefficienti in ${\displaystyle K}$ e in ${\displaystyle n}$ variabili sono un sottospazio vettoriale di ${\displaystyle K^{n))$.
• Sia ${\displaystyle V}$ lo spazio delle matrici quadrate ${\displaystyle n\times n}$ reali, con operazioni somma tra matrici e prodotto scalare per matrice. Allora l'insieme delle matrici diagonali è un sottospazio di ${\displaystyle V,}$ siccome è non vuoto, la somma di due matrici diagonali è una matrice diagonale, e il prodotto di uno scalare per una matrice diagonale è una matrice diagonale.
• Analogamente le matrici simmetriche e le matrici antisimmetriche formano due sottospazi dello spazio delle matrici quadrate ${\displaystyle n\times n}$.
• Il nucleo e l'immagine di una applicazione lineare ${\displaystyle f\colon V\to W}$ sono sottospazi rispettivamente di ${\displaystyle V}$ e di ${\displaystyle W}$.
• I polinomi di gradi al più ${\displaystyle k}$ sono un sottospazio dello spazio ${\displaystyle K[x]}$ dei polinomi a coefficienti in ${\displaystyle K}$ con variabile ${\displaystyle x}$.
• Se ${\displaystyle X}$ è un insieme ed ${\displaystyle x}$ un punto di ${\displaystyle X}$, le funzioni da ${\displaystyle X}$ in ${\displaystyle K}$ che si annullano in ${\displaystyle x}$ (cioè le ${\displaystyle f}$ tali che ${\displaystyle f(x)=0}$) costituiscono un sottospazio dello spazio di tutte le funzioni da ${\displaystyle X}$ in ${\displaystyle K}$. Inoltre le funzioni da ${\displaystyle X}$ in ${\displaystyle K}$ che si annullano sia in ${\displaystyle x}$ che in un secondo punto ${\displaystyle y\in X}$ costituiscono un sottospazio del precedente.
• L'insieme delle funzioni continue ${\displaystyle C(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$ da ${\displaystyle \mathbb {R} }$ in ${\displaystyle \mathbb {R} }$ fornisce un sottospazio delle funzioni da ${\displaystyle \mathbb {R} }$ in ${\displaystyle \mathbb {R} }$, e l'insieme delle funzioni derivabili ne costituisce un sottospazio.

Operazioni nei sottospazi

L'intersezione ${\displaystyle U\cap W}$ di due sottospazi ${\displaystyle U}$ e ${\displaystyle W}$ di ${\displaystyle V}$ è ancora un sottospazio. Ad esempio, l'intersezione di due piani distinti in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3))$ passanti per l'origine è una retta, sempre passante per l'origine.

L'unione ${\displaystyle U\cup W}$ invece non è in generale un sottospazio, ed è un sottospazio se e solo se ${\displaystyle U\subseteq W}$ oppure ${\displaystyle W\subseteq U}$. Una composizione di due sottospazi ${\displaystyle U}$ e ${\displaystyle W}$ che fornisce un nuovo sottospazio è la cosiddetta somma ${\displaystyle U+W}$, definita come l'insieme di tutti i vettori che sono somma ${\displaystyle \mathbf {u} +\mathbf {w} }$ dei vettori ${\displaystyle \mathbf {u} \in U}$ e ${\displaystyle \mathbf {w} \in W}$. Ad esempio, la somma di due rette distinte (sempre passanti per l'origine) in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3))$ è il piano che le contiene.

La formula di Grassmann mette in relazione le dimensioni dei quattro spazi ${\displaystyle U}$, ${\displaystyle W}$, ${\displaystyle U\cap W}$ e ${\displaystyle U+W}$.

L'ortogonale ${\displaystyle W^{\perp ))$ di uno sottospazio vettoriale ${\displaystyle W}$ di uno spazio ${\displaystyle V}$ su cui sia definita una forma bilineare ${\displaystyle \phi }$ è l'insieme dei vettori ${\displaystyle \mathbf {v} }$ tali che ${\displaystyle \phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=0}$ per ogni ${\displaystyle \mathbf {w} \in V}$.

Quoziente di uno spazio vettoriale

Lo stesso argomento in dettaglio: Spazio vettoriale quoziente.

Se ${\displaystyle W}$ è un sottospazio vettoriale di ${\displaystyle V}$, si può costruire il gruppo quoziente ${\displaystyle V/W}$ e munirlo a sua volta di una naturale struttura di spazio vettoriale.

Con precisione, si definisce la relazione di equivalenza ${\displaystyle \mathbf {v} \sim \mathbf {w} }$ se e solo se ${\displaystyle \mathbf {v} -\mathbf {w} \in W}$. Una singola classe di equivalenza è spesso denotata come ${\displaystyle \mathbf {v} +W}$. Somma e moltiplicazione per scalari sono definiti mediante:

${\displaystyle (\mathbf {v} +W)+(\mathbf {w} +W)=(\mathbf {v} +\mathbf {w} )+W}$

${\displaystyle \lambda (\mathbf {v} +W)=(\lambda \mathbf {v} )+W}$